Buenos días, mi nombre es José Ignacio Jiménez Maroto
y voy a presentar mi proyecto de investigación doctoral,
cuyo título es Estudio del espectro de caminos subóptimos
en redes regulares desordenadas y sus aplicaciones en física.
Está adscrito al Departamento de Física, Matemática
y de Fluidos, perteneciente a la Facultad de Ciencias de la UNED
y está tutorizado por el profesor Pedro Córdoba Torres.
Este es el esquema que voy a seguir.
En primer lugar,
daré una justificación del problema de investigación.
A continuación,
expondré los objetivos que pretendemos alcanzar.
A continuación, la metodología empleada.
Y, por último, los resultados esperados.
Los medios desordenados o aleatorios
son sistemas espacialmente extensos en los que las magnitudes de interés
que pueden tener distinta naturaleza,
física, química, biológica, están distribuidas
en el espacio de forma aleatoria.
Estos medios son ubicados en la naturaleza
y, como ejemplos, tenemos.
Las moléculas de un gas en un recipiente
en la que las posiciones y los estados de movimiento
son aleatorios.
También las formas que adquiere la arena en una playa
o un campo de dunas y la distribución de espines que son responsables
de las propiedades magnéticas de muchos materiales.
En el estudio de los medios desordenados,
Existen dos conceptos que son importantes,
como es la geodésica,
que es el camino de distancia mínima entre dos puntos
y que no coincide con la recta euclídea que los une.
Y la bola es el conjunto de puntos alrededor de un nodo central
que se sitúan a una distancia menor que una distancia dada.
El problema del camino mínimo es una línea de investigación importante
en física teórica y computacional,
ya que se asocia con aplicaciones relevantes
como son el transporte de fluidos en medios porosos,
de la física de la materia condensada,
el estudio de los polímeros, membranas, fracturas,
comunicaciones inalámbricas, etc. El estudio del camino mínimo
se trata dentro del modelo de percolación a primer paso,
y que es una red discreta con un tiempo de paso aleatorio
entre dos nodos vecinos y que permite obtener
el tiempo mínimo de llegada a cada uno de los nodos.
El camino mínimo
se relaciona con el crecimiento de superficies o interfaces,
ya que son una consecuencia de las fluctuaciones aleatorias
o ruido.
Este crecimiento se produce lejos del equilibrio
y está descrito por la ecuación de Kardar-Paris y Zang.
Las superficies adoptan formas irregulares con geometría fractal
y la rugosidad es el resultado de la interacción
de todos los procesos que tienen lugar en la superficie.
De este modo, el desorden o ruido en un medio
genera una dinámica del crecimiento,
la cual se estudia mediante la teoría cinética
de la rugosidad.
Donde las geodésicas y las bolas presentan geometrías estocásticas
y pueden obtenerse propiedades estadísticas que siguen leyes
de potencia con exponentes de escala característicos.
Los exponentes denotan una cierta naturaleza fractal
universal.
En muchos sistemas presentan unos mismos exponentes,
por lo cual se engloban dentro de lo que se denomina
una clase de universalidad.
Una clase de universalidad importante es la de Kpz,
donde la fluctuación radial o anchura de la bola de radio
R sí tiene un exponente beta igual a un tercio
y la desviación lateral de la geodésica sigue un
escalado con un exponente dinámico de tres medios.
Uno de los objetivos que pretendemos es obtener
o reproducir resultados relevantes que existen en la literatura
sobre el modelo FPP.
Para ello utilizamos una red cuadrada de longitud L,
una distribución exponencial para los tiempos de enlace,
donde el parámetro A señala el nivel de ruido de la red.
Para componer la geodésica empleamos el algoritmo DICTRA,
Y para obtener las distintas estadísticas,
como son la media y la fluctuación desde el tiempo mínimo de llegada
y de la depiación lateral de las geodésicas,
empleamos un número de realizaciones de ruido.
Aquí tenemos un ejemplo de dos realizaciones
donde para una misma distribución las geodésicas se distribuyen
de diferente manera.
Aquí tenemos los resultados que hemos obtenidos en cuanto al modelo FPP
y que observamos
que para la fluctuación en el comportamiento asintótico
siguen con un escalado con un exponente de un tercio
y para la altura el exponente de escalado es de dos tercios.
El camino óptimo en el ruido débil se considera autoafín
ya que varía según la dirección.
Por ejemplo, cuando hemos empleado las redes,
en las redes cuadradas hemos observado que ese
escalado es diferente a lo largo del eje que en la diagonal
y pertenece a la misma clase de universalidad, Kpz.
Para el ruido fuerte,
el camino óptimo es autosimilar, es decir,
que es invariante bajo cambios de escala isotrópicos,
es indiferente de la dirección y, por lo tanto,
tiene una dimensión fractal.
En el ruido fuerte el camino mismo
se estudia dentro de la teoría de la percolación.
Es importante el estudio del punto de crossover entre el ruido débil
y el fuerte.
Bien, como hemos observado o hemos indicado,
los caminos óptimos se utilizan para el estudio de muchos sistemas,
pero presentan o son propicios a fallos,
como por ejemplo puede ser por sobrecarga,
por sobrecalentamiento o congestión,
por lo que el estudio de los caminos óptimos
son de interés.
También se emplean para el estudio de ciertos sistemas,
como es el tráfico de diferentes accesos,
entre dos ciudades o la distribución de corrientes
en una red de resistencias aleatorias.
De este modo, el modelo KPP,
que es una generalización natural del modelo FPP,
se llevará a cabo un análisis que se extiende
a los K caminos ordenados de menor a mayor tiempo de llegada o energía
entre dos puntos.
Aquí K igual a 1 sería el camino óptimo del modelo
FPP.
Aquí tenemos un ejemplo de las 20 primeras K geodésicas
en esta red cuadrada de longitud 20.
Para obtener los K caminos mínimos se emplea el algoritmo de Yen.
Aquí tenemos un esquema del algoritmo de Yen para el modelo KPP
donde las K geodésicas se obtienen a partir del camino mínimo
en un proceso iterativo.
También es interesante, o vamos a llevar a cabo,
obtener una relación entre el modelo KPP
y otros sistemas físicos en los que el transporte
es un resultado de proceso de optimización.
Se denomina el modelo RRN, que son de redes de resistencias aleatorias
en los que las geodésicas es el camino de resistencia mínima.
Las K geodésicas se definirían como hemos indicado anteriormente.
Aquí, con las resistencias definidas en toda la red,
se aplican las leyes de Kirchhoff y de Ohm y obtendremos como resultado
la corriente que atraviesa cada nodo.
Un concepto importante en esta red, en este tipo de modelo,
es la línea principal de corriente,
que es el camino de corriente entre dos nodos.
De este modo podremos obtener la distribución
del flujo de corriente por las geodésicas.
Este modelo tiene aplicaciones en la industria de extracción
del petróleo,
en la conductividad de medios semiconductores o en medios mixtos
metal aislante, etc.
Para el modelo RRN empleamos una red cuadrada de longitud L
y una distribución exponencial
para asignar las resistencias entre nodos.
En esta área de modelo, en la red,
establecemos unas condiciones de potencial en la nodo central
de un potencial igual a 1 y en la frontera
un potencial igual a 0.
Entonces, aplicando estas leyes de Kitsch y Dion que hemos hablado
anteriormente, obtenemos la corriente en cada nodo.
En paralelo, mediante el algoritmo de DISTRA y del algoritmo de GEN,
podemos obtener las cafeodésicas del modelo KPK.
Para componer las líneas principales de corriente empleamos el algoritmo
PLA donde desde una partícula se decide cuál es el nodo siguiente
del camino o de la línea principal de corriente mediante probabilidad
según la corriente de los nodos vecinos.
De este modo podremos obtener la frecuencia relativa
con la que las líneas principales de corriente siguen cada
cajeo de ciclo.
Aquí tenemos un ejemplo de línea principal de corriente
y del modelo que estamos empleando.
¿Cuáles son los objetivos?
En primer lugar, como hemos indicado,
para el modelo FPP es reproducir mediante simulaciones computacionales
resultados relevantes de la literatura.
Para el modelo KPP haremos el estudio del espectro de energía
y la geometría de las cajas geodésicas
en una red cuadrada tanto en el régimen de ruido débil
como en el ruido fuerte.
Bueno, haremos un análisis del escalado.
Y para el modelo RRN, analizaremos o estudiaremos
el escalado de las líneas principales de corriente
y trataremos de obtener una relación de las líneas principales
de corriente con las cajéodésicas del modelo KPP,
en unas condiciones de ruido débil, moderado y fuerte.
Bueno, la metodología es que emplearemos,
como hemos indicado,
la herramienta principal, que será la simulación computacional,
y emplearemos en su mayoría
el Centro de Computación de Alto Rendimiento de la UNED.
¿Cuáles son los resultados esperados?
Pues para el modelo KPP,
en el ruido muy débil, el espectro de las cajas geodésicas
se distribuirá en niveles de energía,
dado que la energía está dominada por la longitud
de los caminos asignados,
Conforme se incrementa el nivel de ruido,
empieza a haber un trasvase o unas transferencias de caminos
entre niveles, por lo que los niveles irán inclinándose,
llegando a contactar por los extremos.
Cuando tratamos el ruido fuerte, debe de formarse un conjunto
degenerado de k geodésicas en cuanto a su energía y geometría,
siguiendo el modelo de percolación.
Haremos un análisis de crossover y lo que se espera
es que el espectro muestre una línea creciente
que siga una ley de potencias.
En cuanto al modelo RRN,
haremos un estudio del comportamiento de la línea principal de corriente.
En los niveles distintos de ruido y los resultados esperados
son que en el ruido débil y fuerte las LPCs o líneas rígidas
de corriente deben seguir preferentemente el camino óptimo
y conforme se incrementa la intensidad de ruido,
desde el ruido débil,
la gráfica debe evolucionar hacia un histograma más distribuido
donde se irán añadiendo CAGE o DESICAS
a la ley de potencias.
Cerca del crossover se prevé que se siga una ley de potencias.
Y este ha sido el fin de la presentación
y esperamos que haya sido de su interés.
Muchas gracias.