Buenos días a los que estáis aquí en sala
y a los que se están conectando por medios telemáticos.
Hoy tenemos una conferencia de un joven investigador,
que es el profesor Sebastián Dormido Bencomo.
El profesor Sebastián, bueno.
El presentarlo yo creo que estaría de sobra.
Yo creo que todos lo conocéis.
Es maestro de muchos de los que estamos hoy aquí
y de otros muchos que no han podido estar.
Ha dirigido multitud de tesis, tiene multitud de trabajos.
Y es reconocido en el ámbito de la automática internacionalmente
y, por supuesto, nacionalmente, con premios Doctor Honoris Causa.
Es decir, presentároslo a la mayoría,
lo conocéis tan bien como lo conozco yo,
y es un honor de que todavía nos pueda seguir dando
clases magistrales.
Va a explicar una cuestión sobre la función descriptiva.
Que es verdad que es un tema que muchas veces
en las materias que damos se pasa demasiado ligero
y que es conveniente
refrescar y tenerlo presente porque puede ayudar muchas veces
a los trabajos que sobre todo los jóvenes estáis haciendo
en automática, en control, en diseño, etc. Bueno, sin más,
le dejo la palabra al profesor Dormido
para que nos dé la clase magistral.
Muchas gracias a usted.
Muchas gracias, Joaquín, y gracias a todos por estar aquí.
La verdad es que es un placer estar en esta sala
contando algunas cosas.
En realidad, lo que voy a contar
es el trabajo que he venido a desarrollar en los últimos años,
desde que me he jubilado.
El jubilarse tiene una cosa buena,
y es que uno recupera el tiempo para sí mismo,
y aquellas cosas que ha dejado en el tintero, que no había hecho,
que quería hacer, pues las retoma,
y eso es lo que he estado haciendo.
Y eso es lo que voy a contaros en la charla que os voy a dar ahora.
Este es un poco el guión.
Tengo que decir que el contenido de esta presentación,
si la dieran extenso, podría estar todo un día hablando de ella,
voy a tratar cuestiones, lo más fundamental.
Y si alguno tiene interés en alguna cosa más en concreto
de lo que voy a contar aquí en la presentación,
pues efectivamente que me lo diga y lo hablaré con él para.
En principio va a ser una introducción general.
Yo creo que la introducción debe ser la parte más interesante para todos,
porque ahí lo que trato de justificar es por qué el control no lineal,
por qué los sistemas no lineales, sistemas dinámicos
no lineales, son importantes y por qué conviene estudiarlo.
Ese es un poco el leitmotiv de esa introducción.
Porque la función descriptiva no es ni más ni menos que una técnica,
de las muchas que existen, para estudiar determinadas
particularidades que suceden en los sistemas lineales,
como vamos a ver.
Luego me detendré un poco en los fundamentos
de la función descriptiva.
Haré solamente los fundamentos.
Diré, el que quiera estudiar más o ver más cuestiones,
pues ya me lo comenta y se lo iré diciendo.
Y, por ejemplo, el punto 3 lo comentaré,
la dual input describing function,
porque nos va a interesar.
Es decir, cuando el sistema que quiero controlar
no es autónomo, o sea, tiene entradas externas,
pues hay que utilizar la función descriptiva dual
y por eso la explicaré.
Sobre el cálculo diré poco y es realmente porque es
uno de los temas en los que más he trabajado en los últimos tiempos,
pero es excesivamente técnico y me complicaría la presentación
respecto al hilo fundamental que quiero que sigáis.
Pero que sepáis que el que tenga que hacer cálculo de función adjetiva
es un tema en el que ahora hemos desarrollado un procedimiento
automático que las genera y con bastante rapidez.
Y presentaré en todo caso tres ejemplos que son no triviales.
Donde el uso de la función descriptiva
tiene particular interés.
El primero es un método que desarrollé con José Sánchez
para los temas de identificación de sistemas
que tiene gran interés práctico, que yo creo que lo podréis utilizar.
El segundo proviene de unos trabajos que.
Los tres,
en cierta manera, que refrescan cuestiones que yo había tratado hace
como 25, 30, 40 años y que ahora he vuelto a retomar.
Y la he vuelto a retomar porque tenía interés en ver cuestiones.
El segundo es la no linealidad de Schroeder,
que explicaré de qué se trata.
Y el tercero tiene que ver con el muestreo basado en eventos.
Al cual le tengo un gran cariño.
De hecho, cuestiones sobre control basado en eventos,
personas que están aquí han seguido trabajando en ella,
está María, Ernesto, muchos han.
Ha sido un tema, Jesús también,
en el que hemos trabajado en este departamento.
Y eso proviene exactamente porque en mi tesis doctoral
yo trabajé sobre los sistemas de muestreo basado en eventos,
que entonces nos llamaban así.
Hice cosas, efectivamente, en aquel momento.
Ahora, pasados los años, con mayor conocimiento de causa,
lo he vuelto a retomar y estamos trabajando muy activamente
sobre ese tema.
Este es el esquema general de la charla.
Y vamos a empezar.
Esta primera transparencia resume un poco mi visión de la automática
o del control que quiero explicaros porque es importante.
Ahí ustedes ven que existe un triángulo con tres vértices.
Un vértice, el de la izquierda,
que es la realidad.
Los que trabajamos en control automático,
como en cualquier disciplina, tenemos algo que queremos controlar.
Es lo que llamamos el proceso.
En este caso he puesto ahí, a modo de ver las cuestiones,
algo que es una columna de destilación,
una petroquímica o no de destilación.
A la derecha tenemos su modelo.
Fijaros que el modelo lo represento gráficamente por un dibujo
que trata de representar a esa realidad que es el proceso.
Y finalmente tenemos los fundamentos
de una disciplina que uno tiene que manejar.
Por ejemplo, si uno está aplicando un curso de control básico,
de fundamento de control básico, conceptos básicos
que tiene que manejar son el concepto de lo que es un sistema dinámico,
hay que saber lo que es un sistema dinámico,
el concepto de realimentación, que es esencial en la automática,
El concepto de estabilidad,
lo menos que le podemos pedir a un sistema es que sea estable,
de alguna manera, si la vamos a entrar.
Y después, un aspecto importante es la compensación dinámica.
Lo que intentamos hacer los especialistas en control
es dar un proceso, tratarle de una cierta estructura
y conseguir que se cumplan determinadas especificaciones.
De esta manera, eso es compensar al sistema para que las cumpla,
de alguna forma.
Y fijaros que en ese triángulo hay tres vértices y tres lados,
cómo no.
Uno que confronta los fundamentos con la realidad.
Cuando yo voy a la realidad y con mis fundamentos
lo que hago es experimento con la realidad
y veo lo que sucede sobre los procesos.
Eso es importante
y es lo que hace la gente cuando está en la industria.
Tiene unos conceptos y lo que trata es de aplicarlos sobre esa realidad
que tiene.
Por otro lado, tenemos los modelos.
Y cuando yo confronto los fundamentos con los modelos,
lo que estoy haciendo es simulación.
Es una técnica muy importante, pero en definitiva,
simular no es ni más ni menos que
hacer experimentos sobre modelos.
Los modelos no es ni más ni menos que una,
digamos, abstracción que hago de la realidad
y que me va a servir para tratar de estudiar
esa realidad que yo quiero tener.
Y aquí es importante, por lo tanto.
Decir algunas cosas que son importantes, creo yo.
La primera es que los modelos son aproximaciones de la realidad.
No es la realidad, es una aproximación que tengo.
Y, por supuesto, se basan en hipótesis.
Cuando yo hago un modelo, lo primero que tengo que hacer
es bajo qué hipótesis estoy haciendo ese modelo.
Tienen siempre los modelos, cuando los construyo,
en la inmensa mayoría de los casos,
un carácter finalista.
Yo construyo un modelo con una finalidad
y la finalidad es hacer algo con ese modelo.
El desarrollar un modelo es lo que los ingleses,
los anglosajones llaman the art of modeling.
No existe, en términos generales,
que más quisiera que una especie de churrera
en la que yo meto las especificaciones, le doy al botón
y me sale por el otro lado el modelo.
Es más, mucho trabajo de muchas personas
a lo largo de toda su vida es hacerse especialista en modelos
para un determinado proceso que tiene que cumplir determinadas
condiciones.
Luego, tienen carácter finalista.
Y hay un principio, en cualquier caso,
para construir modelos que siempre debemos de tener presente,
que es el principio de parcimonia.
Este es un principio que dice, mantén el modelo
lo más simple posible para cumplir el objetivo que tú estás tratando
de buscar.
Es decir, no compliques el modelo más allá de lo que necesitas,
porque cualquier complicación que añadas al modelo,
estás introduciendo elementos que desde un punto
de vista, de luego, matemático, de trabajar con ese modelo,
se te complica la asistencia.
Luego, si un modelo sencillo te sirve para explicar el fenómeno
o la realidad que tiene,
pues ese es el más que tienes que utilizar.
Y la otra cuestión importante siempre a recordar
es que los modelos tienen un rango de validez.
Es decir, y la validez viene impuesta
por las especificaciones que uno ha impuesto.
Y por lo tanto,
cuando el modelo falla, o no me dice lo que tengo que decir,
lo que está fallando es el modelo,
no la realidad.
Si yo observo algo y en mi modelo no me lo da, significa que el modelo
no está adecuado para predecir esas cuestiones que yo estoy intentando.
Ahora volveré sobre ello.
Y el tercer lado del vértice es una técnica
que los especialistas en automática debemos de manejar, que es tratar
de cómo construyo modelos a partir de una realidad.
Eso requiere conocer algo del dominio de esa realidad.
Por eso la automática tiene un cierto siempre carácter transversal.
Se dice que es independiente del dominio,
evidentemente las técnicas sí que lo son,
pero si la quiero aplicar en un caso concreto
y voy a trabajar con motores eléctricos,
pues tendré que saber algo de motores eléctricos
o estar con alguien que sepa de motores eléctricos.
Y por lo tanto hay un proceso de identificación
a partir de las hipótesis.
Y hay generalmente dos técnicas básicas de identificación que son.
La técnica basada en los principios físicos,
principios básicos, uno modela a partir de los fundamentos que me da
la disciplina en la que se incluye ese proceso,
o bien utilizando una técnica de caja negra
en el cual yo aplico entradas al sistema, obtengo salida,
y mediante técnicas de identificación,
que están muy extendidas y hay magníficas herramientas
para hacer este tipo de cosas, obtengo un determinado modelo.
Claro, este modelo resuelve el problema,
pero no me da conocimiento profundo de las interrelaciones que existen
entre las variables que yo tengo que tener en el sistema.
Bien, dicho esto,
la pregunta es ¿por qué realmente son necesarios los modelos
no lineales?
Construir modelos no lineales.
La explicación es muy sencilla y muy directa,
porque los modelos lineales no explican.
Desgraciadamente, suficientemente bien,
fenómenos que suceden en la realidad.
Ahora lo trataré de mostrar y continuar con el ejemplo.
Hay fenómenos que suceden en la realidad,
los cuales un modelo lineal no puede predecir bajo ningún sentido.
Y por lo tanto, tengo que efectivamente acudir
a modelar con técnicas no lineales
cuando sucede eso.
Y la última consideración en esta transparencia,
de la cual me estoy deteniendo bastante, es que dado un sistema.
La correspondencia sistema-modelo no es una correspondencia,
como habéis podido comprobar de lo que he dicho hasta ahora,
biunívoca.
Es decir, dado un sistema existirán tantos modelos
como, de alguna manera, hipótesis o haga para construirlo.
Y dependerá del final finalidad.
Si yo tengo un circuito eléctrico y quiero estudiar problemas
de disipación de energía, posiblemente un modelo de parámetros
concentrados con resistencia me pueda valer
y ascribo la disipación de energía a las pérdidas por efectos
ya o la resistencia.
Si lo que quiero estudiar es un problema de distorsión de señal,
pues por ejemplo distinto,
un modelo lineal nunca distorsiona la señal.
Cualquier señal que yo coloque, la compongo en Fourier,
mantiene la misma frecuencia y lo que tengo es
o un cambio de fase o un cambio en amplitud,
pero no distorsiona la señal.
Si hay distorsiones de señal,
evidentemente tengo que acudir a un modelo no lineal.
Si tengo un circuito electrónico
como un multivibrador o un oscilador,
un oscilador no lo puedo explicar a la luz de un modelo lineal.
Es decir, la naturaleza es mucho más rica
que lo que dan los modelos lineales.
Esto no quiere decir
que no sean importantes los modelos lineales,
claro que lo son y ahora lo iremos viendo,
pero efectivamente necesitamos extender esa capacidad
a otros modelos, que es un poco lo que trato de ver.
Aquí he puesto una transparencia.
Que es de mi amigo Brian Douglas, un especialista en automática,
un americano, que además tiene una gran vis artística,
y en este cuadro refleja, desde ahí no se ve muy bien,
un poco lo que él llama la mochila de elementos
que una especialista en automática tiene que tener.
Una especialista en automática
tiene como una especie de caja de herramientas
con muchas cosas que va aprendiendo, y las tiene colocadas allí,
y en función de lo que quiere estudiar,
va sacando del cajón ese tipo de herramientas.
Dentro de ese conjunto, efectivamente,
está el control no lineal y técnicas,
asociadas al control no lineal.
Luego, de todas maneras, el ver
este cuadro, que es como una especie de voz que no nos debe de perder
de vista la parte más fundamental, la parte,
en un curso debe ser la parte conceptual, que es un poco
la que trato yo ahora de explicar hoy y de ponerlo.
Y a modo de introducción voy a justificarlo poniendo
varios ejemplos de respuestas de sistemas donde efectivamente
estos sistemas, la conducta que se observa,
no se puede explicar a la luz de que el sistema sea lineal.
Me voy a sentar
porque como voy a hacer algunas simulaciones pequeñitas,
pues las vamos viendo aquí.
El primer ejemplo se llama.
A ver, aquí está el ratón.
Tiempo de escape finito.
Vamos a ver, aquí tengo una respuesta de un sistema.
Ah, sí, perdón.
Sí, aquí, espera, voy a ponerlo más acá.
Ah, sí, apaga ese, ahora ir para allá.
Tengo un sistema donde veo que la salida del sistema aquí,
pues cuando yo varío aquí, tiende hacia cero,
pero cuando me paso un de este valor,
se me va a infinito.
Esto es lo que se llama tiempo de escape.
Un sistema lineal se va a infinito, la respuesta,
cuando t tiende a infinito.
Nunca un sistema lineal tiende a infinito en tiempo finito.
Si me aparece una conducta de este tipo,
automáticamente debo de pensar que el sistema
es un sistema no lineal.
Este fenómeno de tiempo de escape finito
no lo puedo justificar nunca utilizando un modelo lineal.
¿De acuerdo?
Veamos otra cuestión.
Por ejemplo, que es al que le voy a dedicar más tiempo,
el tema de los ciclos límite.
Esto es la resolución de la ecuación de Van der
Pol.
Ahora explicaré un poco históricamente lo que es
la ecuación de Van der Pol.
Fijaros, si yo cambio la condición inicial, esto está en un ciclo límite
y si varío este parámetro, pues variará la forma,
pero la respuesta lo que adquiere es una oscilación
de una amplitud determinada y con un periodo determinado.
Si os fijáis aquí en esta ecuación de segundo grado que tenemos aquí,
el coeficiente de amortiguamiento tiene un término que es x
cuadrado menos uno.
Eso significa que cuando x es pequeño,
el amortiguamiento es negativo
y por lo tanto el sistema es inestable,
tiende a crecer.
Y cuando x se hace grande,
el amortiguamiento positivo tiende a disminuir.
Por lo tanto hay un compromiso de unas inestables y estables
y lo que da ese origen es a un ciclo límite.
Van der Pol fue un físico ingeniero holandés
que trabajaba en Philips a principios de los años 20-30
del siglo pasado.
Y él, la denominada ecuación de Van der Pol,
la desarrolla en los años 20, efectivamente, estudiando el problema
de los osciladores de relajación electrónicos con multivibradores.
Y modela ese circuito mediante esta ecuación.
No es una ecuación matemática que salga,
es una ecuación producto de un resultado experimental.
Y como veis aquí, hay un ciclo límite
e independientemente de cuál sea la condición,
el sistema está capturando esa oscilación,
que tiene amplitud fija y un periodo determinado.
Este fenómeno, como digo.
Es ineludible de los sistemas no lineales.
Un sistema lineal no puede presentar nunca
este fenómeno.
Lo más que puede presentar es una oscilación,
como un oscilador armónico,
pero que depende de las condiciones iniciales.
Cuando tengo dos polos que son imaginarios conjugados,
pero si me voy un poquito fuera,
pues el sistema decae o se hace inestable.
No tiene este fenómeno.
Cuidado.
Otros fenómenos interesantes son los problemas de cambio estructural
que tiene el sistema cuando cambia un parámetro.
Aquí vemos que tengo un sistema que tiene
una oscilación de ciclo límite.
Cualquiera que sea la condición inicial,
el sistema está ahí en el ciclo límite.
Pero voy a variar, aquí tengo,
variando este parámetro, el sistema varía la amplitud que tengo.
Llega un momento, se produce lo que se llama una bifurcación,
lo que es una trayectoria de ciclo límite,
al pasar aquí, se convierte en un nodo
y por lo tanto el sistema se hace estable.
Es decir, pequeños cambios en un valor de un parámetro provocan
lo que se llama un cambio cualitativo en la conducta del sistema.
Eso es lo que se llaman bifurcaciones.
Eso se estudia en los sistemas no lineales
y es muy sencillo y se ve aquí.
Este caso, como digo, lo tenéis aquí.
Ah, estaba aquí la línea.
Y se ve efectivamente.
Este es otro caso directamente.
Otro fenómeno que no se puede explicar,
el fenómeno de bifurcaciones,
cambio de la conducta del sistema de manera radical
cuando cambia un parámetro,
si el sistema es lineal no se puede explicar.
Otro problema.
Por ejemplo,
este problema que estoy colocando aquí también tiene un nombre
en la ecuación esta que se llama ecuación de Duffing.
Es una ecuación de un sistema no lineal.
Duffing era un ingeniero alemán, también de los años 20 o 30,
que estudió un problema de vibraciones y lo que ponía
era a un sistema de segundo orden, Una no linealidad que es
una no linealidad cúbica, que es como la que tengo aquí,
que yo puedo variar el valor de la no linealidad y poner
las cuestiones.
Esta sería la no linealidad cúbica.
Pero fijaros aquí en la respuesta en frecuencia,
que es lo que me interesa que veáis.
La respuesta en frecuencia de este sistema
es una respuesta cuya respuesta no se puede obtener nunca
si el sistema es lineal.
Tiene una zona dependiente negativa.
Lo que hace que la respuesta en frecuencia,
pues al llegar aquí se produzca un salto que tengo aquí.
Es decir, si veis aquí las oscilaciones,
la parte inferior izquierda tiene una amplitud determinada,
de tal manera que si yo cambio la amplitud,
veis como la oscilación cambia de valor.
Eso es lo que se llama fenómeno de resonancia de salto, que es
un fenómeno típicamente no lineal que presenta.
Determinados tipos de sistema y un sistema tan sencillo
como un sistema lineal al que se le pone una especie
de no lineal de tipo cúbico que puede variar hace este tipo de cosas.
Y además presenta una conducta caótica
la respuesta que tiene el sistema.
Al variar las condiciones, la respuesta se hace muy extraña.
Esto tampoco se puede explicar a la luz de los sistemas lineales.
Otro fenómeno interesante que hemos trabajado
y que es interesante.
Es el fenómeno de lo que produce cuando yo en un sistema
incluyo un relé.
Como sabéis, un relé es el controlador más utilizado
en la industria.
Los termostatos y temperaturas
son relés que tienen un determinado parámetro.
Aquí fijaros, he puesto, este es un relay ideal
y veis que la simulación no la he avanzado mucho más
porque si la avanzara mucho más colapsaría
porque digamos la respuesta tiene que una conducta de tipo ceno,
es decir, va a tener infinitos eventos en tiempo finito.
Pero puedo ver muchos más fenómenos.
Yo puedo crear esta no linealidad y fijaros, hacer la conistéresis,
puedo cambiar la cuestión que puedo aquí,
puedo volver a lo que quiero hacer.
Bueno, y puedo estudiar también fenómenos de.
Aquí, por ejemplo, aquí veis un fenómeno que se llama
de modo deslizante.
La trayectoria llega a un valor
y efectivamente lo que hago es para que no haga modo de shattering,
deslizo por el sistema correspondiente.
Este tipo de fenómenos son característicos
de un sistema deslizante.
No lineal.
Los sliding motion, como todos los modelos,
tienen un gran interés porque en el fondo me fijan
que la dinámica que sigue el sistema va a ser independiente
de la perturbación y va a tener una determinada trayectoria.
Son sistemas inherentemente robustos,
como hay otro tipo de fenómenos que se producen.
Este es otro que de alguna manera os lo pongo porque sigo volviendo,
estoy volviendo sobre este tema que estoy haciendo hace muy tiempo.
Estas fueron cosas que yo detecté cuando hice mi tesis doctoral.
Estoy hablando de los años 70.
Se remonta en el siglo de los tiempos para allá atrás.
Este sistema que veis aquí,
la trayectoria tiene un ciclo límite.
Estos son sistemas de muestreo basado en eventos.
Volveré sobre ello al final de mi charla.
Cuando yo varío las condiciones, veis como la condición del número.
Del ciclo límite va variando.
El dominio de atracción del ciclo límite
depende de las condiciones que yo estoy teniendo.
Esto estoy volviendo a estudiarlo ahora,
estoy tratando de estudiarlo con María
para estudiar los problemas de este tipo de situaciones
y bajo qué condiciones son los dominios de atracción
de un ciclo o de otro.
Este es un problema que está abierto
y que no está estudiado, volveré sobre ello.
Es una conducta típicamente no lineal.
Y este es un problema, el último, el péndulo invertido,
en el cual el péndulo invertido es un sistema de control clásico
no lineal,
que de alguna manera ha suscitado un gran interés
a los teóricos de control.
Sobre todo el problema del swing up.
Yo tengo un péndulo que está en la posición baja
y lo quiero subir a la posición supina correspondiente.
La técnica normal que se hace es coger al péndulo,
llevarlo cerca de la posición de equilibrio,
con una ley de control
y cuando están en esa posición, conmutar la ley de control
a una ley de control lineal que ya está en proximidad a ese punto
y tratar de mantenerlo ahí.
Bueno, pues ha habido gente
como el profesor Javier Aracil y Francisco Gordillo en Sevilla,
Carl Armstrong y otros muchos que han estudiado
si existen leyes de control continua
que permitan, aquí tenéis la posición,
voy a poner lo en modo para que se vea
la simulación, Aquí lo estáis viendo cómo va pasando
de la posición baja a la posición alta
con una ley de control continua.
Puedo cambiar, voy a ponerlo en modo de un one shot,
puedo variar la ley de control y veo en definitiva como independiente
de la ley de control pues aparecen muchas cuestiones,
muchos tipos de respuestas.
O sea que el péndulo invertido es un banco magnífico
para estudiar problemas de control no lineal.
Es un sistema de bajo orden y que se reflejan en él
muchas conductas que son interesantes.
Y esto tampoco se puede observar si el sistema es lineal.
Bueno, pues estos, digamos, casos particulares
demuestran que suceden respuestas en la realidad con sistemas
que no podemos explicar si solo acudimos a una teoría lineal.
Y hace falta, por lo tanto, tener una idea y nociones de control
no lineal.
Estos son, de alguna manera, y os lo pongo,
los libros que hay muchos, de control no hay muchos,
pero los que particularmente yo he manejado.
A lo largo de mi vida.
No quiere decir que sean solamente estos,
pero esencialmente estos.
Los tres primeros corresponden a mi época de estudiante,
por eso tienen una sensación de estar más utilizados,
los manejaba.
Y efectivamente siguen siendo libros clásicos,
es decir, libros clásicos en el sentido
de que todavía hoy su estudio merece la pena
y conviene el tenerlo a punto.
Y el cuarto por debajo
era el que cuando yo daba clase en este máster de control lineal,
puse como libro de referencia para mis alumnos, que es el eslotín.
Es un libro.
Básico de ingeniería, pero claro y que no entra mucho en detalle,
pero que está bien, da los fundamentos.
Y finalmente, el libro de Kahlil,
que el que quiera estudiar control no lineal, es un gran libro,
es un libro de referencia y es un libro del año 2000
aproximadamente, los tres primeros son de los años 60.
El Graham Marruel, que es el primero todavía más antiguo,
es el OED de mi maestro que me lo regaló
y por lo tanto lo tengo todavía más más cariño
si cabe que a los anteriores.
Y, como digo, el último es un libro extraordinario,
que se debe tener como libro de cabecera
y de vez en cuando, cuando uno tiene un problema de control lineal,
ir allí, leer y ver lo que dice el Cali,
porque es una auténtica habilidad.
Bueno, eso para que sepáis los libros que he manejado.
Ahora vamos a empezar la segunda parte.
Voy a ver cuánto llevo de tiempo, porque ya he apagado.
¿Qué tiempo llevamos?
Bueno, vamos bien.
Vamos a hablar ahora de la función descriptiva.
Estaba hablando muchas cosas como técnicas.
Pero antes voy a hablar de la idea de linealización,
que es una idea fundamental en nuestro campo.
Cuando yo quiero iniciar un sistema.
La forma más sencilla de iniciar un sistema,
que es la que podemos explicar en primer lugar
a los chicos en la escuela cuando están,
pues es una línea de lesión estática.
Yo tengo una fusión que es no lineal y observo el valor en este punto
y calculo eso como la tangente que tengo
en este punto.
O sea, es una visión únicamente asociada al punto
en el que tengo yo aquí.
No mira más allá, es totalmente miope,
solamente ve el punto.
Lo que sí explicamos, y esta es una técnica fundamental
en los cursos de sistemas no lineales,
es el.
Tema de la linealización dinámica,
es decir, yo tengo un punto de funcionamiento
y lo que hago es linealizo en torno a este punto.
Es decir, cojo el valor de la derivada que tengo aquí
y por lo tanto paso, si el sistema es no lineal,
de un sistema no lineal a un sistema lineal,
donde estoy calculando el Jacobiano asociado a este punto
que me linealiza el sistema de este punto.
Esta técnica, si yo voy variando el punto,
pues puedo ir cambiando la linealización del punto en función
del punto de trabajo que yo esté funcionando.
Y por lo tanto, en este caso,
cuando yo linealizo, ya vemos que a cualquier entrada sinusoidal,
la respuesta es una señal sinusoidal
que tendrá la misma frecuencia y lo que variará será la amplitud,
dependiendo de la pendiente que tenga aquí.
Esta técnica es muy potente, es muy útil
y además la mayoría de los software de simulación que tenéis
os permite linearizar el sistema en torno a cualquier punto
de operación.
En el MATLAB lo colocáis, tiene una función,
pero en cualquier lenguaje que pongáis eso se puede realmente
hacer.
Claro, lo que sucede es que esta técnica no me es útil siempre,
porque si yo tengo una función que tiene discontinuidades
o tiene cuestiones aquí, la técnica de negación ya no me va a valer,
porque no es continua en este punto y por lo tanto
puede plantear problemas.
¿Qué es lo que hace la función descriptiva?
La función descriptiva,
ahora haré una introducción histórica a ella,
pero esencialmente esta transparencia lo refleja bien.
Es decir, Cuando yo a un sistema no lineal
le aplico una señal sinusoidal armónica aquí,
lo que tengo a la salida es una señal también armónica,
pero que tiene un contenido en frecuencia que no solamente
incluye la frecuencia fundamental, sino más armónicos.
Y lo que hace la función descriptiva es decir, bueno, pues me quedo
con el primer armónico.
Efectivamente.
Pero claro, el valor de esta señal, la ganancia de aquí,
va a depender de la amplitud que yo esté aplicando
aquí a la entrada.
Cuanto mayor o menor sea la amplitud.
Es decir, lo que tengo un sistema en el que es algo
así como que tiene una ganancia.
Donde el valor de esa ganancia depende del valor
de la amplitud de la entrada.
Mientras que aquí no.
Aquí, como estoy haciéndolo en torno a este punto,
pues tengo esta unión dinámica.
Eso es lo que hace la función descriptiva.
Esta es la idea que hay que tener clara.
Luego ahora yo la puedo desarrollar, le puedo poner matemáticas
y muchas cuestiones.
Pero esto es lo que tenéis que tener claro del concepto
de la función descriptiva.
Bien, vamos a decir algo de la función descriptiva.
Primero, es una técnica antigua,
en el sentido de que prácticamente se desarrolla,
y ahora explicaré por qué, en los años 40.
En los años 40 es cuando la Segunda Guerra Mundial
se produce un gran desarrollo de muchos avances en la automática,
pero que no son dados a conocer sino hasta pasada
la Segunda Guerra Mundial,
cuando aparecen los libros y los artículos correspondientes.
Es decir, fijaros, para poneros una referencia en el contexto,
se dice que la automática nace como disciplina científica
cuando en el año 1932 Nikuis
publica su trabajo seminal Regeneration Theory,
que es el criterio de Nikuis.
Eso marca realmente el inicio de la automática
como disciplina científica.
Pues en el año 40 se hace esto.
Lo curioso del caso,
lo que tengo que comentar desde el punto de vista histórico,
es que la función descriptiva.
No tiene un padre asociado,
una persona que, digamos, este fue el que la desarrolló,
sino que se desarrolla independientemente con trabajos
muy similares en cinco países distintos.
Se los pongo ahí.
Es decir, hay varias razones.
La razón última y fundamental es que estamos en el año 50.
Entonces, la diseminación de los trabajos
y el conocimiento de lo que la gente hacía no era tan inmediato
como hoy día.
Uno podía hacer algo en el año 50
y en el año 50.
Una persona en Francia, otra en Inglaterra,
otra en Alemania,
otra en Estados Unidos y otra en Rusia,
que son los cinco países que inicialmente tienen invitados
y que se preocupan por esto, desarrollan ese tipo de temas.
¿Por qué lo desarrollan?
Lo desarrollan como un método heurístico que de alguna manera
les permite calcular ciclos límites en los sistemas no lineales,
trayectorias de este tipo que necesitaban ellos justificar.
Realmente, La fundamentación teórica la hacen los dos rusos,
que son Kilov y Bogoliubov.
Hay un libro, que es del año 50, que es una traducción,
pero estos trabajos de Kilov y Bogoliubov,
que están asociados a mecánica no lineal,
se está desarrollando en los años 20-30,
cuando Kilov y Bogoliubov desarrollan.
Y vamos a ver ahora enseguida que la función descriptiva
no es ni más ni menos que una aproximación particular
del método del balance armónico,
que es el que desarrollan Kilov y Bogoliubov.
¿Cuál ha sido el problema que ha tenido la función descriptiva
desde un punto de vista de los teóricos de control?
Esto es importante.
La función descriptiva
cuando nace, nace como un método heurístico,
que de alguna manera esto, es decir, si existe ciclo límite,
Lo que se debería decir es que probablemente existe el ciclo límite
y si no existe, probablemente no existe.
Claro, esto a un teórico del control le rechina hasta el tuétano.
¿Cómo que probablemente existe y no existe?
Eso no puede ser así.
Y efectivamente, esto dio origen a que se dijera
que la función descriptiva era un método no riguroso,
lo cual no es cierto.
Cierto en absoluto.
Eso hace flaco favor a toda la gente que a partir de ese momento
trabajó sobre la función descriptiva y desarrolló cuestiones.
La función descriptiva es un método aproximado
y como un método aproximado lo que tiene es garantía de solución
bajo determinadas condiciones.
Que sea aproximado no quiere decir que no sea riguroso.
Por esa misma razón de tres, cualquier método que se hace
y la mayoría de los métodos que se utilizan
en ingeniería son métodos aproximados serían métodos no rigurosos
y eso es faltar a la realidad.
A veces dicen también que es un método ingenieril,
dándole un sentido peyorativo al término ingenieril.
Nada más le digo de la realidad.
Es un método ingenieril, claro que sí,
que de alguna manera resuelve el problema de una manera sencilla
y que en la mayoría de los casos funciona.
Y que además, posteriormente, se justifica teóricamente
que así ha sido el problema.
Bueno, fijaros que ya en el año 60
hay un trabajo de Basch.
En el primer congreso mundial de FAC que se desarrolla en Moscú
en el año 60, que es legitimidad de la alineación
de la función descriptiva.
O sea, ya desde los años 60 hubo teóricos del control
que trataron este tipo de problemas.
Yo en la charla que voy a dar no tengo tiempo,
obviamente, de referirme a esa legitimidad matemática,
porque eso me llevaría solamente, tratar de mostrar eso,
una hora y además con una matemática bastante obtrusa
que no tiene mayor sentido.
Pero lo que puedo decir.
Y esto es importante,
que si uno tiene un sistema y tiene ciclo límite,
existen procedimientos asociados a la opción descriptiva
que permiten garantizar la existencia de ese ciclo límite sí o sí.
Con lo cual, efectivamente, esa consideración que estaba diciendo
antes se elimina.
Vamos a ver los fundamentos del método de balance armónico.
Voy a pasar brevemente porque si no, nos pasamos por el tema.
Aquí tenemos lo que vamos a estudiar.
Tenemos un sistema, vamos a poner un caso sencillo
para participar del término.
Es una función de transferencia
GDS que es estrictamente propia.
Estrictamente propia significa que el grado del numerador es menor
que el grado del denominador.
Significa, por lo tanto, que tiene carácter de filtro paso baja.
Es decir, cuando yo tenga señales de frecuencia baja,
tiende a filtrar las frecuencias altas,
efectivamente eso es lo que hace un sistema estrictamente propio,
al que le estoy colocando un elemento no lineal en conexión con él
y el sistema está funcionando en modo autónomo,
es decir, que la entrada R vale cero,
es decir, solamente está sometido a condiciones iniciales.
Está la estructura básica que tengo aquí.
Bueno, y vamos a suponer que la función fi,
después esto se puede generalizar, lo vamos a hacer,
pero para empezar el tema es invariante en el tiempo
y una no lineal sin memoria.
Sin memoria significa que dado un valor de E,
el valor a la salida está unívocamente determinado
a partir del valor de E. Está calculado.
Bien, este sistema que tiene esta estructura,
si r es igual a 0,
equivale a resolver esta ecuación que tengo aquí.
g por phi más 1 por e igual a 0.
Y vamos a suponer que a la entrada, porque esto es lo que observo,
lo que observa, tengo una señal que es periódica.
Una señal que es periódica significa que su valor con un periodo 2pi
por di omega es igual a dt para todo.
Esto significa que sea periódica.
Y la idea del método, esto es lo fundamental,
es representar una solución periódica por una serie de Fourier
y buscar la frecuencia omega y el conjunto de coeficiente
de Fourier que satisfacen uno.
Es decir, yo voy a suponer que esa es periódica
y si esa es periódica significa que lo puedo desarrollar
en serie de Fourier, lo pongo así de esta manera,
donde los números complejos, esto va de menos infinito
a diminuto, estos son los complejos conjugados cuando K es negativo,
y esto implica, por lo tanto, que la función phi de E
también será una función periódica
que tendrá otros coeficientes de Fourier, C sub K,
con la misma frecuencia, y estos coeficientes de Fourier
van a ser función de los A sub
K. Y de lo que se trata es de determinarlo.
Bueno, si yo sustituyo estas dos expresiones
directamente aquí y tengo en cuenta
la ortogonalidad que tienen las funciones trigonométricas,
la e elevado a j omega
multiplicada por otra con k distinto para ellos igual a cero,
se obtiene esta ecuación.
¿De acuerdo?
En la cual,
teniendo en cuenta que la función g cumple esta condición,
es una función simétrica respecto al eje real,
y los coeficientes cumplen esta condición,
me puedo quedar solamente con su valor para k mayor
que 0.
Pero claro, fijaros en esta ecuación.
Esta es una ecuación de dimensión infinita
que es difícilmente resoluble.
Krilov y Bogol y Bob,
bajo determinadas condiciones teóricas,
fueron capaces en algún caso concreto de resolverla,
pero se tiraron no sé cuántas páginas para calcular la solución.
Eso es muy abstruso.
Pero bueno, es difícil la solución.
¿Qué es lo que tenemos que hacer, por lo tanto?
Aproximar.
Y la primera aproximación que hacemos es, como G de S
es una función estrictamente propia.
Su límite va a tender a cero cuando omega tiende a infinito.
Esta función tiende a cero.
Con lo cual, existirá un Q para el cual, un Q mayor que cero,
tal que para todo K mayor que Q, esta función
es lo suficientemente pequeña para considerar que podamos sustituir
g de j omega y a de k por cero.
Es decir, me quedo solamente con los términos que no tengo capacidad
de filtrar suficientemente.
Esto es lo que se llama la hipótesis de filtrado,
hipótesis fundamental y que se basa
en que g es una función que tiene ese carácter de filtro paso baja,
elimina.
Será tanto mejor cuanto mayor capacidad de filtro
tenga.
Es decir, cuanto mayor sea la diferencia de grado del polinomio
del denominador con el denominador, mayor será la capacidad de filtrado
que tiene ese sistema.
Pues bien, lo que supone la función descriptiva clásica
es quedarse de este conjunto de ecuaciones
solamente con la aproximación de primer orden.
Es decir, y eso implica quedarme con estas dos ecuaciones.
Aquí tengo, por lo tanto, un sistema, bueno, tendría,
si miro este sistema, una incógnita más que ecuaciones,
pero como el sistema es autónomo, el sistema autónomo
tiene la propiedad del desplazamiento en el tiempo,
puedo fijar el origen de tiempo y me quedo con tres ecuaciones
con tres incógnitas.
Y eso es, voy un poco rápido porque si no tiene más sentido,
al final llego a estas dos expresiones
que tengo aquí.
Si supongo que la entrada a la función descriptiva.
Es una función sinusal que es simétrica.
El valor que tengo es a por seno de omega t.
Supongo que no tengo este valor a sub cero,
sería la componente de continuo.
Ahora luego la introduciré después.
Luego puedo eliminar esta ecuación
y al final me quedo con esta y defino la función descriptiva
como se obtiene por aplicar una señal sinusoidal
a la entrada del elemento no lineal y calculando la razón
del coeficiente de Fourier.
De la primera armónico que es 71 al valor de la salida que tengo
que es a su pueblo y esto me da la función descriptiva
y fijaros que si sustituyo eso aquí me queda esta ecuación que es
la cuestión fundamental que tengo que tener una ecuación
en la que estoy ligando la función de transferencia
con el inverso de la función descriptiva
cambiado de signo es decir puedo expresar eso de esta manera
voy a llamar a esa amplitud a y aquí que tengo
una ecuación.
Que tengo en una ecuación compleja, luego tengo dos ecuaciones reales,
parte de la repartida imaginaria, y tengo dos incógnitas, omega y a,
Si hay intersección, habrá ciclo límite,
la omega estará asociada sobre el G y la A
sobre el lugar del.
La inversa de esto se llama CDA, es el lugar crítico.
Y esto es lo que dice el método.
Cuando se hizo inicialmente, no se puso.
Toda la fundación teórica luego lleva asociado,
lo que os digo, teoremas y cuestiones
que garantizan que esa aproximación es correcta.
Pero lo que dice es.
Que si esta ecuación tiene solución,
una solución significa un par, amplitud, frecuencia,
entonces hay probablemente una solución periódica del sistema
con frecuencia y amplitud próxima a estos valores.
Y si no, pues probablemente no tiene una solución periódica.
Lo que sucede es que en la mayoría de los casos,
vamos a ver esto un poco ahora, pues eso va a tener solución.
Es decir, hemos llegado a que este sistema autónomo
que tenía esta no linealidad,
lo podemos sustituir por este sistema,
donde esto es una especie de ganancia que depende de la amplitud
de la entrada.
O sea,
no es una K sencilla, sino una K que depende de la amplitud.
Y, evidentemente, esta, digamos, ganancia depende de la amplitud,
dependerá su valor exacto de la naturaleza que tenga la función
no lineal que estoy colocando ahí.
En alguna manera.
Es decir, y la siguiente cuestión sería, ¿qué pasa si la entrada,
a ver, bueno, si yo tengo una, vamos a ver dos generalizaciones.
Había puesto una función que era, digamos, sin memoria.
Es decir, que no depende del valor de la historia anterior
de la señal.
Si depende, supongamos que depende de la derivada,
esto significa que la anónima tiene inercia,
recuerda el pasado.
Pues efectivamente esto va a depender no solamente de A,
sino de la frecuencia también.
Es decir, que.
Vamos a pasar aquí.
Gráficamente, vamos para el anterior.
Aquí.
Cuando estudio el caso sencillo,
lo que tengo es esto.
Tengo g de j omega,
que el sentido de la flecha indica el sentido de las omegas crecientes.
El sentido aquí de la función descriptiva,
la inversa, es el lugar crítico.
Aquí se produce una intersección y efectivamente este punto,
leo el valor de a sobre el lugar crítico
y el valor de omega sobre g de j omega y obtengo el valor
de ese punto que es la solución del sistema.
Cuando depende de la frecuencia, en lugar de tener una línea,
tengo varias líneas y por lo tanto la frecuencia
a la que esta tiene también deberá coincidir.
Es un método gráfico sencillo que me permite obtener soluciones.
Y además, pues efectivamente,
si yo veo que este punto el corte es bastante perpendicular,
pues puedo suponer, geométricamente,
que el sistema con garantía bastante absoluta y fiabilidad
va a tener ciclo límite.
Este es un tema que no está explorado,
que yo de alguna manera he sugerido, se lo he sugerido a María
o a la gente con la que estoy trabajando.
Esto, fijaros, la resolución de este sistema
es un sistema lineal, en este caso,
yo linealizo en torno a este punto el sistema lineal.
Y un sistema lineal, ¿cuándo tiene solución
y tiene solución exacta?
Esto es lo que se llama aquí el número de condición.
El número de condición me indica si dos rectas se cruzan
y se cruzan de una manera nítida y por lo tanto la solución
tiene solución.
Porque pequeñas perturbaciones que yo tenga aquí.
Aquí yo aquí no me va a cambiar la transacción el problema se produce
cuando estas dos curvas se intersectan
con ángulos que son muy muy tangentes que de alguna manera
porque pequeñas versiones los parámetros pueden producir
que el tema no tenga solución luego esto sería una vía
que no está estudiada de tratar de analizar la robustez
y la existencia ciclos límites lo pongo ahí
como cuestión bueno.
Aquí os pongo dos ejemplos de cómo se calcularía manualmente
la función descriptiva.
¿Cómo vamos de tiempo?
Pues entonces, aquí tengo una no linealidad que es
una zona muerta.
Y aquí está puesta una
no linealidad que es un relé.
Bueno, pues lo que aplico es una sinusoide a la entrada,
veo la forma de onda que tiene la señal de la salida,
calculo esos valores y eso me calcula la función descriptiva.
Estas las pongo, por una cosa que voy a hablar ahora,
esta tiene, digamos, una pendiente y esta tiene,
es la unidad de un relé.
Pues estas dos funciones descriptivas y, por lo tanto,
eso me permitirá matemáticamente, ponerla con la g de j omega
y calcular las cosas que tenga que tener.
Vamos a estudiar un poco ahora la estabilidad.
Imaginaros aquí que yo tengo una función descriptiva
o lugar crítico, es la inversa,
que hace esto.
Y esta es la función de g de j omega.
Hay dos intersecciones aquí.
Por lo tanto, hay la posibilidad de existencia de dos ciclos límites.
Y solamente uno de esos ciclos límites es estable.
Vamos a justificar por qué.
Fijaros.
Lo voy a poner aquí.
Perdón.
Ahí.
Aquí.
Vamos a estudiar este ciclo límite.
Está aquí.
Si yo doy una pequeña perturbación que me voy fuera del ciclo límite,
es decir, la A se hace más pequeña porque la A va creciendo para acá,
se me pone aquí, el sistema es estable
y lo que tiende es a separarse del punto de equilibrio,
se va fuera.
Y si estoy aquí
y de alguna manera aumento el valor de A,
o sea, me meto dentro de la reacción que abarca.
El sistema es inestable y tiende a separarse este punto
de equilibrio tiende a capturar esto es decir esto obviamente es
un punto de equilibrio inestable y por la misma razón
de lo que estoy diciendo
este otro punto de equilibrio es un punto de equilibrio estable
de manera que si me voy fuera de aquí.
Efectivamente el valor de edad el sistema es estable el valor
de aumenta y tiende a disminuir vuelve para acá
y si estoy aquí es inestable tiende a ir para allá luego efectivamente
es una condición que estableciólo es estableció con esta condición
el producto vectorial de la gente omega o en el jm que la función
de las abierto con la inversa de esta respecto de la es igual
o lo que es lo mismo cuando yo recorro.
La curva de KLJ omega en el sentido de la omega creciente,
el punto será estable si me encuentro a la derecha
el lugar crítico con las frecuencias crecientes.
Este es estable
y este me lo encuentro que está adentro,
pues es inestable.
Luego tenemos métodos para calcular la estabilidad de un ciclo límite
asociado al tema.
Bueno, ¿qué es lo que ha pasado ahí?
Lo que estábamos suponiendo era que el sistema era autónomo,
que es un caso sencillo.
Es decir, solamente está sometido a condiciones iniciales.
Y si está sometido a condiciones iniciales,
la E que tengo aquí, habíamos dicho que era A seno de omega t.
Era, no existía, digamos, estaba sobre cero.
Y esto genera, esta es la función.
¿Qué sucede si yo aplico entradas aquí, R, o aplico perturbaciones?
Es fácil imaginarse y justificar, es sencillo,
que en la entrada a la non-linealidad habrá una componente de continua.
Es decir, ya no será seno de omega t,
sino que habrá una componente de continua.
Yo tengo que establecer una ecuación de la componente de continua
que se establece aquí en función del valor que tenga cds y gds.
No me da tiempo a explicar eso,
pero intuitivamente la idea creo que se ve clara.
Es decir, que la función descriptiva ahora tiene este término,
que tiene esta b.
¿La b qué es, simplemente?
La b es el valor medio que tiene la señal que está entrando aquí.
Esta señal que tiene aquí, el valor medio
de la señal que tiene la señal que tiene la señal,
es el valor de b.
¿De acuerdo?
Eso es lo que os pongo aquí para justificarlo.
Estas eran las ecuaciones que habíamos tenido
del balance armónico.
Que ahora está a cero, no es igual a cero.
Y hago con el cambio de nodación, llego a este sistema.
Es decir, que tengo un sistema que tengo ahora,
en vez de una única ecuación que dependía de A y de omega,
tengo dos ecuaciones.
Tengo tres ecuaciones reales, porque esta es una ecuación compleja,
en tres incógnitas, que son omega A y B. Luego
puedo determinar omega A y B. Luego,
cuando el sistema está sometido a entrada, Primero,
la función descriptiva normal no vale.
Tengo que considerar la componente de continua
y tengo que resolver un sistema en el que tengo que calcular también
el valor de sabías, de ese valor de continua que tiene la señal.
Bueno, el cálculo se hace muy inmediato,
no voy a hacerlo.
Y voy a decir una breve palabra sobre el cálculo
de la función descriptiva, que como digo,
es una cosa en la que hemos trabajado mucho en los últimos tiempos.
En el grupo
y que explicar lo de si alguien está interesado,
se viene a mi despacho, me lo dice y yo se lo cuento de una manera
detallada.
Pero fijaros aquí, he puesto esta no linealidad.
Primero, ya es una no linealidad multivaluada,
es decir, que tiene historia correspondiente.
Si yo fuera a calcular la función descriptiva aplicando lo que dicen.
Digamos, la definición, aplico una señal sinusoidal.
Fijaros que la amplitud de la señal sinusoidal
tiene que ser tal que englobe todo el ramo,
toda la característica de la fusión no lineal.
Si pongo un valor de A
que se me queda por aquí, no estoy recubrando la señal.
Hay un valor mínimo que tiene que estar en amplitud.
Y a partir de aquí, pues calculo esta forma
y hacer esto a mano.
Es de alguna manera pues yo soy incapaz de hacerlo vamos
de hecho esto fue lo que es esta no linealidad que estoy poniendo aquí
y que ahora voy a tratar de explicar un poco detalle
porque he trabajado mucho sobre ella en la anonimidad de escritores lidar
era un discípulo de gibson el del libro que había contado
no lineal que hizo su tesis de maestría.
Para calcular la función descriptiva de esta no linealidad.
Y Gibson la puso en su libro, pero puso la función descriptiva,
el cálculo, que dicho sea de paso,
como estaba hecho por métodos manuales,
a posteriori hemos descubierto que esa función descriptiva
tiene errores, lo cual era lo normal,
porque calcularla a mano era realmente complicado.
Y entonces hay un principio para calcular la función descriptiva
que es la composición paralelo.
Si yo tengo una función no lineal que es suma de varias
no linealidades, se puede demostrar que la función descriptiva
es la suma de las funciones descriptivas
asociadas a cada una de estas no linealidades.
Este es un principio general que nosotros hemos explotado
para calcular la función descriptiva de cualquier no linealidad.
No voy a dedicar en eso.
Y aquí tenéis, por ejemplo, algunos ejemplos.
Fijaros que os había dado la función descriptiva de la zona muerta
y la del relé.
Con esta función descriptiva
componiendo y con el principio este de composición paralela,
puedo expresar las funciones descriptivas directamente de no
linealidades univaluadas.
Esto ya se sabía desde el año 80, 60 o del año 70,
en un libro estupendo de Gell y Van der Velde sobre este cálculo.
Lo que no se había estudiado era cómo calcular la fusión descriptiva
de no linealidades multivaluadas.
Y eso es lo que hemos hecho nosotros, pero que de alguna manera
lo dejo ahí para más adelante si nos dejo explicar.
Y ahora voy a pasar a los ejemplos que he desarrollado
y voy a poner tres ejemplos.
El primero, y en los cuales la función descriptiva
tiene un valor importante.
El primero lo hemos llamado el N-Shifting Method.
Ahora os voy a decir de lo que se trata.
Bueno.
Lo primero, esto parte del trabajo seminal de Armstrong y Haglund.
Armstrong y Haglund estudiaron lo que se llama el método del relé.
El método del relé consiste en colocar un relé.
Si yo quiero identificar este sistema para sintonizar un controlador,
tengo que determinar algunas características del proceso.
Y la manera es introducir un relé.
Un relé tiene esta función descriptiva
y entonces en la intersección con la función de transferencia
genera un ciclo límite y determinando la amplitud
y la omega de este ciclo límite, Tengo, de alguna manera,
calculado, puedo calcular entonces dos constantes
asociados a un PI, por ejemplo, y lo puedo calcular.
Aquí tenéis que sucede cuando yo al relé le introduzco una asimetría.
Si el relé no es simétrico, o sea, la amplitud para arriba,
la amplitud para abajo, ya tiene aquí una cierta componente de continua.
Y esto me permite calcular la ganancia en estado estacionario,
los grandes parámetros.
Y, finalmente.
Lo que empezábamos a ver también que se aplicaba
es, si yo a la función descriptiva le pongo un retardo aquí,
mira la frecuencia,
el valor de este retardo lo que hace es coger esta función descriptiva
y rotarla.
Con lo cual esto me permite calcular nuevos puntos.
Es decir, con un experimento de un relé,
incluyendo un retardo, yo puedo calcular puntos distintos
del que tenía originalmente.
Esta idea.
Espera, esperamos.
Es la que nosotros desarrollamos.
Este es un teorema que desarrollamos que dice lo siguiente.
Si yo tengo una función periódica de periodo t,
es decir, que cumple estas condiciones,
y yo cojo el resultado de esa función y la sumo desplazándola n veces,
t, n, t, t, n, lo que obtengo es una función que es periódica
y su periodo es t partido por n.
Y esto tiene una gran importancia práctica.
Vamos a ver.
Porque aquí tenéis la señal inicial.
Tiene un periodo t.
Ahora he cogido, esta es una señal que he obtenido experimentalmente.
Yo aplico el método de Rayleigh y tengo esta señal.
Y ahora hago un procedimiento de cálculo externo.
Y cojo esta señal y la asumo con su señal
retardada en T medio.
Y eso me genera una señal que tiene periodo
T medio.
Si lo hago, es un proceso de cálculo algorítmico.
Con T tercio, pues tengo esta señal.
Y si hago en T cuarto, tengo esta.
¿Esto qué significa?
Significa que yo puedo estar identificando.
Más puntos en la GDS para identificar un sistema.
¿Qué implicación tiene eso?
La implicación que tiene es, al menos teóricamente
y prácticamente se puede mostrar en muchos casos,
que solamente con un experimento de relé,
que en principio me planteaba dos puntos,
puedo calcular todos los puntos que quiera introduciendo
un retardo que me va, digamos, moviendo el sistema
con este tipo de cosas.
Veamos un poco.
Y esto es una aplicación.
Aquí está un poco explicado,
pero aquí la tenemos la aplicación.
Voy a abrirla para que la veáis.
Aquí está la aplicación.
Fijaros, en esta aplicación está colocado un shifting igual a 4.
Y fijaros los puntos que estoy determinando.
He colocado un modelo de segundo orden con retardo
aquí que tiene estos puntos.
Y ajusto este.
Fíjate la función descriptiva que está calculando.
Si yo coloco la función de transferencia
que corresponde a este sistema,
que no la he utilizado para calcularlo,
veis que la ajusta realmente importante bien.
Este es un método de identificación realmente experimental
de gran interés práctico
y que me permite identificar funciones de transferencia
de cualquier orden.
Por ejemplo, lo que estáis trabajando en temas con los barcos,
para crear los modelos.
Si ponéis el barco y hacéis un experimento tipo relé,
le dais una cuestión y simplemente, y registráislo
que es la respuesta del sistema a esas pequeñas variaciones,
y tomáis esos datos, podéis identificar modelos
de un determinado orden con bastante interés.
Esta aplicación permite hacer muchas cosas, pero no tengo tiempo
y, por lo tanto, es interactiva y, por ejemplo,
puedo variar cosas por aquí, vais viendo ahí cosas, pero bueno,
no voy a pararme porque lo que quiero explicar,
vamos a ver otra aplicación.
Vamos a ver lo de la no linealidad de RIDAR.
La no linealidad de RIDAR que estudió en el Gibson
era el caso de una GDS, un sistema autónomo,
y donde tenía esta no linealidad.
Esta es la forma que tienen.
Aquí tenéis en el 2002, hace 25 años,
yo tengo la amistad con Javier Araciel
y con Paco Cordillo, pues les propuse desarrollar
una herramienta que permitiera calcular.
¿Qué era lo que sucedía cuando utilizaba esta señal?
En aquella época empezaba yo a trabajar con las cuestiones
de interactividad que tenía.
Y entonces el problema era el siguiente.
Fijaros, aquí tenéis la no linealidad.
Esta no linealidad que variando, yo puedo variar los parámetros
como quiera y se me puede convertir en cualquier cosa que yo quiera.
De alguna manera puedo obtener.
Espera, voy a ponerla aquí.
Voy a ponerlo aquí.
O sea, cualquier nomenclatura que queramos
se puede configurar con este tipo de ecuaciones.
Esto fue lo que hizo Schroeder para que hablara de fin de grado,
pero él no simuló ni hizo nada en aquel momento.
Y entonces lo que hicimos nosotros con esta nomenclatura,
fue desarrollar,
esto está desarrollado en el año 2002,
esta es una primera aplicación interactiva que desarrollamos
y efectivamente pues simulábamos,
veíamos que se encontraba en ciclo límite.
Esta era una simulación que hicimos en aquel momento
utilizando una técnica de mostreo rápido,
porque no tenía los suficientes conocimientos
o el suficiente tiempo para desarrollar técnicas
de simulación más precisas que las que tenía.
Pero funcionaba y frenaba bien.
Entonces, realmente lo que de alguna manera hemos hecho,
hemos recuperado ahora el tema,
es primero analizar bien esta función.
En la desrida.
Hemos hecho una parametrización distinta
de la desrida que nos permite hacer muchas cosas.
Por ejemplo, esta no linealidad tiene 7 grados de libertad,
que son A, B, las pendientes M1, M2 y M3
y las tres alturas R1, R2 y R3.
Cuando A es igual a B,
la no linealidad es unívoca porque no existe rama aquí.
Se pueden configurar muchas no linealidades.
Es decir, aquí tenéis todas las no linealidades.
Los tipos de no linealidad distintas a la que da lugar
la no linealidad de realidad.
Y en cada una de ellas, de alguna manera,
los eventos que se producen son distintos.
Y hay que tenerlo en cuenta si se quiere hacer una simulación
bien hecha y exacta.
Es decir.
Ah, perdón.
Aquí.
Aquí he puesto.
Es decir, cada una de esas no linealidades tiene.
Esto, por ejemplo, sería interesante para el curso de sistemas híbridos,
para ponerse los alumnos como ejemplo de desarrollo de sistemas.
¿Qué tengo aquí?
Esto es la anonimidad de Rida y digo,
este es el autómata que describe esa anonimidad.
Tengo tantos estados como ramas tengo
y los eventos se producen cuando cruzo por este punto,
en este caso aquí en dirección positiva, etc.
Y por lo tanto esto me establece, los números
son los eventos que están aquí y las letras corresponden
a los estados que tengo.
Y esto describe realmente este autómata.
Lo que tengo que hacer en la simulación es,
cuando detecto el evento, por ejemplo,
que etiqueto aquí como 2,
efectivamente este es un sistema que se llama
Piecewise Linear Control System, un sistema lineal a tramo.
Lo que tengo que hacer es cambiar el modelo
y cambiar los parámetros que tiene.
Luego, esto va a ser las cosas bien hechas.
Y eso es lo que empezamos a hacer cuando ahora retomé el tema
y desarrollé estas cuestiones.
Aquí, porque esto no camina.
Ah, bueno, aquí estaba esto, perdón.
Ah, bueno, mal, aquí.
Aquí.
Y entonces, bueno, pues este sería el sistema que estudié
de la novena desrida y al final desarrollamos esta aplicación
que os voy a enseñar algunas cosas.
Esta la he desarrollado con José Manuel.
Ya tiene un look distinto al anterior
y ahora aquí tenéis la estructura que tiene.
Por ejemplo, voy a coger esta cacharra que tengo aquí,
que no sé cómo la puedo quitar.
Aquí, la quito ahí.
Efectivamente.
Fijaros aquí.
Puedo escoger la no linealidad que el tipo que quiera.
Por ejemplo, quiero coger una linealidad de relé
con histeresis.
Cojo la linealidad de histeresis y veo que, en definitiva,
aquí tengo.
Que es la respuesta del sistema.
Aquí están funcionando en modo autónomo.
Es decir, que solamente depende de las condiciones iniciales
que tengo.
Vario las condiciones, lo que quiera.
Voy variando los parámetros de la B o de esto,
pues efectivamente se cambiará.
Le doy 0.8.
Por ejemplo, aquí tengo una unidad que tiene histeria
y se hizo una muerta.
Y va calculando perfectamente bien las cosas que tengo.
Y aparecen muchos tipos de conducta muy interesantes.
Como digo, y se puede coger la función de transferencia.
Podemos coger un sistema que sea no autónomo.
Vamos a coger un sistema autónomo
y voy a enseñar algunas cosas que son interesantes
y que a lo mejor nos pueden ser interesantes.
Imaginaros que yo cojo un sistema autónomo.
Tiene entrada inicialmente puesto el valor de la entrada a cero
la entrada aquí está cero
y la respuesta que tiene sistema obviamente está aquí voy
a aumentar el valor de esa entrada y a ver qué sucede
para que veáis cosas y fenómenos aquí voy a darle el valor
uno fijado primera cuestión cuando le doy el valor 1.
La no linealidad que ve el proceso no es la no linealidad simétrica
que tengo aquí, sino la que estoy pintando en rojo.
Fijaros la respuesta del sistema.
Vale cero aquí y se pone por aquí.
Luego esa es la primera cuestión y por lo tanto ya habrá un bias.
Toda la teoría de la fusión adjetiva dual
que había dicho habría que estar utilizándola.
Es decir, si sigo aumentando el valor del punto de consigna
y le doy el valor 2,
Pues mirad, la no linealidad que ve es distinta.
Oficialmente, un caso tan sencillo como una zona muerta de saturación,
cuando la someto a entradas, de alguna manera,
la función que está viendo el proceso no es esa no linealidad.
Esto hasta ahora prácticamente no se ha estudiado así
y cuando la gente aplicaba la función descriptiva
decía que fallaba.
No, porque no falla,
sino que tienes que calcular ahora la función descriptiva.
No la que está asociada a esta no linealidad,
sino la que está asociada a esta otra.
En fin,
como digo, hay muchas cuestiones que hemos desarrollado
que son interesantes y esto,
como digo, ahora os diré con quién estoy hablando.
Tiene interés y está prácticamente terminado.
Está sin publicar todavía.
Bueno, y ahora el último ejemplo tiene que ver,
y con esto termino, ¿cuánto me queda?
¿Cinco minutos?
Termino, un poco.
Fijaros, esta transparencia está tomada directamente
de mi tesis doctoral.
Y cuando yo desarrollé la tesis doctoral
era una época que no se podía publicar nada de la tesis
hasta que no estaba terminada la tesis.
Esto era la norma correspondiente.
Yo leí la tesis en el año 70 y mis trabajos
de la asociada tenía cosas publicadas con mi maestro anterior
y cosas de estas, pero este trabajo está publicado
por el año 73.
Esto se desarrolló en el año 70,
porque yo leí la tesis en el 79, 70 fue el año que lo hicimos.
Pero fijaros la idea cuál era.
Imaginaros que yo digo que quiero muestrear
cuando el valor del error respecto al valor anterior
que tengo en valor absoluto es igual a delta.
Pues esto genera este tipo de cuestiones.
Esto es lo que luego se ha venido a llamar más o menos muestreo
basado en eventos.
Se ha cambiado el nombre.
Antes se llamaba muestreo adaptativo.
Y entonces yo demostraba que el número de muestreo era menor,
etc. Y demostraba, como era una no linealidad,
que existían ciclos límites.
Fue lo que yo calculaba, de alguna manera.
Es decir, sustituía.
Esta ley de muestreo por un sistema no lineal
donde aparecía esta estructura de no linealidad,
que es la que ahora, bueno, pues allí desarrolla y cosas,
pero yo no había captado totalmente en aquellos años la importancia
que tenía desde el punto de vista de los cálculos.
Bueno, y entonces aquí tenéis, estas son gráficas también
de mi tesis doctoral que os había enseñado al principio,
cómo cuando tengo distintas condiciones
obtenía distintas condiciones de ciclo límite.
Esto es un resultado de aquella época.
Claro, esto fue, pasados los años, en el año 2002,
Armstrong publica un trabajo donde habla de muestreo periódico
y del muestreo Sengondelta.
Esto es lo que se llama también muestreo de Riemann
y muestreo de Lebesgue, en el sentido
de que el de Riemann es así, periodo constante,
y el de Lebesgue es cuando hay cambio.
La idea del muestreo de Lebesgue
es yo muestreo cuando hay cambio significativo
en la señal que me justifica que deba de muestrear.
Tengo que decir que ahora, últimamente,
con personas de la IAUME I, hemos desarrollado,
no lo voy a presentar aquí ahora tal,
un muestreo que he exhibido entre estos,
que es lo que hemos llamado muestreo híbrido, que es donde las líneas
estas no son ni verticales ni tal,
sino que son oblicuas.
Y esto es lo que hemos llamado muestreo Riemann-Lebesgue
y que tiene unas particularidades que están in between
de estas dos correspondientes.
Bueno, eso es para complicarnos las cosas
y como los académicos no hacemos otra cosa
que inventarnos cosas raras, pues ahí lo hemos hecho.
Y aquí tenéis algunas características importantes.
Que estamos trabajando ahora de muestreos basados en eventos.
Que además, todas estas características,
con las técnicas que hemos desarrollado de cálculo
de la función descriptiva, podemos calcular todas estas.
Estas son variantes de alguna manera.
Yo las voy a enseñar ya para terminar con variantes.
Aquí tengo la aplicación.
Que esta está en desarrollo.
Esta será la aplicación.
Fijaros.
Aquí tengo la función descriptiva ahora,
una función descriptiva a tramos.
De aquí esta función definitiva
me está predeciendo un ciclo está configurada
como sistema autónomo me está haciendo una predicción
de un ciclo límite aquí llevaría la condición inicial
es algo que decía que cambia la función del ciclo límite
vamos a verlo si yo por ejemplo aquí a la condición inicial
que tengo menos uno cuando le doy en los dos puntos todos
a ver dónde lo he puesto.
A ver, no, tengo que darle más.
Menos 3.2.
Algo estoy poniendo mal aquí.
Espera, a ver si esto.
Esto es como lo del principio ese,
que si algo puede salir mal, saldrá mal
y saldrá en el peor de los momentos.
Os aseguro que funciona.
Lo que no sé es qué demonios está haciendo mal.
Pero bueno, como no tengo mucho tiempo,
lo que tengo que decir es que esto está bajo desarrollo,
pero esta parte funciona perfectamente.
O sea, el que no funciona ahora no me voy a parar
porque si no, os tendría aquí mucho rato.
Quiero decir que en eso estoy.
Bueno, y entonces ya con esto
paso, bueno, esto es lo que decía la computación Riemann-Lebesgue,
a las conclusiones.
Un poco lo que quiero decir.
Primero, en la importancia que tiene el estudio de las dinámicas
no lineales en la formación de un ingeniero
de control automático.
Un ingeniero que se precie de ser ingeniero en control
debe saber los sistemas lineales, pero debe tener fundamentos
de control no lineal para poderlos aplicar.
Y lo que he notado,
y esto es un trabajo que le he encargado al grupo de educación
en control, que es sorprendente, no en este máster,
este máster tiene una asignatura de control no lineal,
se salva de esa quema, pero es verdaderamente sorprendente
que exista un máster con unos contenidos esotéricos
en cuanto a las disciplinas que imparten y no imparten un curso
de control no lineal.
Eso me sorprende.
La función descriptiva es una técnica clásica que permite
la determinación de ciclos límites, que es la donable,
Para sistemas de controles que son lineales a tramos,
además permite garantizar la existencia de esos ciclos
límites.
Y hemos presentado ejemplos no triviales
donde se demuestra la utilidad en el estudio
de los sistemas de control lineal.
Bueno, pues hasta aquí he llegado.
Gracias por vuestra atención
y perdonad si me he pasado, que seguro que sí.
Pero bueno,
si hay alguna pregunta que queráis hacer,
pues estoy a vuestra disposición.
Muchas gracias, Sebastián.
No sé si hay alguna pregunta entre la sala
o fuera de los que están conectados.
Si tenéis alguna pregunta, la podéis hacer.
Una cosa, Sebastián, quizás se te ha olvidado poner
dónde pueden encontrar vuestras aplicaciones
por si alguien quiere usarlas o descargarlas.
Las aplicaciones normales, no, ya os lo digo.
Las que están bajo desarrollo están puestas relativamente.
Todas estas, algunas están, por ejemplo,
con una condición.
Siempre ponemos la aplicación cuando tenemos una publicación
en revista que ya está lanzada y terminada.
Como ahora estoy jubilado y tengo cuestiones,
pues efectivamente lo de publicar o no publicar es algo que me importa
relativamente bastante menos.
Pero sí que estas cosas quiero.
De hecho, estoy ahora preparando.
Por cierto, una cosa que quería presentar
que no había hecho, se me ha saltado la última, eran los agradecimientos.
Que me he saltado la página, la más importante.
Voy a decir con las personas con las que estoy trabajando.
Las personas son, en el caso de aquí de la UNED, con María, con José,
estoy trabajando en los sistemas de basado en eventos,
con José Manuel,
estoy trabajando en los sistemas de la anónima de Schrader
y de la función descriptiva.
De fuera estoy trabajando en la Jaume I con Óscar,
que estuvo aquí, que vino a hacer una estancia con nosotros
porque estaba conmigo y con.
Oscar y Julio que están allí y luego en Barcelona
con Ramón Costa y Cristina que es una doctoranda que tiene.
Con estas personas son con las que de alguna manera
mantengo una relación fluida y constante
y vamos avanzando haciendo cosas.
Y la colaboración está siendo muy fructífera y gran parte
de lo que yo desarrollo aquí o que he contado,
pues tiene el mérito no solamente que yo pueda tener,
sino que tienen ellos de trabajar conmigo en esos temas.
Perdonad, pero se me había pasado la última transparencia.
Y contestando,
si alguien tiene interés en alguna aplicación de esta,
me lo dice y se la ponga a su disposición.
Pero normalmente suelen
estar disponibles cuando están publicadas,
se ponen a disposición ya de todo el mundo.
De hecho, si entráis en la página de José Manuel,
José Manuel es el que se encarga de esto.
O si no, muchas de ellas también las tenemos,
cuando yo he cerrado cosas de estas, con el grupo de Almería,
con José Luis Guzmán, también tenemos muchas aplicaciones
que se pueden descargar de este tipo de cuestiones.
Algunas tienen muchísimas, digamos, descargas.
Muchas gracias.
Muy agradecido por tu charla y tus enseñanzas.