[Música de suspenso]
El arabesco tiene una finalidad artística
distinta a la del arte figurativo.
No trata de transportar a un mundo imaginado,
sino que, precisamente, libera de las ataduras de la imaginación.
La repetición de un motivo fundamental de forma precisa,
ordenada y matemáticamente perfecta, induce a la contemplación.
[Música de suspenso]
Motivos ornamentales de carácter geométrico
cubren superficies de diferente amplitud en mosaicos, celosías y frisos
de palacios y monumentos de la cultura árabe.
[Música de suspenso]
En muchos de estos diseños, cada parte
del espacio posee una misma importancia.
Se distingue una unidad de composición que, mediante una repetición
sistemática, ocupa la superficie deseada.
El estudio de este tipo peculiar de decoración
nos servirá para introducirnos en el mundo de la geometría.
Hemos elegido los arabescos de los palacios de la Alhambra de Granada,
en primer lugar, por la riqueza geométrica que presentan,
y, en segundo lugar, para dar un soporte cultural
a nuestros estudios matemáticos, quizás excesivamente abstractos.
[Música de suspenso]
[Música suave]
Llamaremos plano a una superficie prolongada indefinidamente.
Los geómetras estudian en el plano figuras como triángulos,
polígonos, circunferencias u otras formas.
Uno de los problemas más importantes es saber si dos figuras son iguales.
Para ello, se miden distancias y ángulos.
[Música suave]
En ocasiones, no es sencillo medir una figura sin tener que moverla,
pero es importante que, al moverla, no la deformemos,
es decir, que el movimiento conserve las distancias y los ángulos.
Así, en geometría euclídea, un movimiento es una transformación del plano
que a cada punto le hace corresponder,
por una regla precisa, otro punto,
y de modo que, si dos puntos están a distancia r,
sus transformados por el movimiento están de nuevo a esa misma distancia.
Los movimientos en el plano son de los tipos siguientes.
Reflexión. Se toma una línea recta E en el
plano, que se denominará eje de reflexión.
Cada punto P tiene por imagen un punto P',
de modo que la recta que pasa por P y P' es perpendicular a E,
y E corta al segmento PP' en su punto medio.
Esta transformación se origina situando sobre el eje
de la reflexión un espejo perpendicular al plano.
Rotación. Existe un punto fijo en el plano
y el resto de los puntos rotan un ángulo prefijado.
El punto fijo se denomina centro de la rotación
y el ángulo se llama ángulo de rotación.
Traslación. Una traslación viene determinada por una flecha orientada
que se denomina vector de la traslación.
Cualquier punto P se transforma en otro punto P'.
Una simetría de una figura es un movimiento que la deja invariante.
Reflexión sesgada.
Se trata de una reflexión seguida de una traslación
cuyo vector es paralelo al eje de reflexión.
Este arabesco tiene una simetría que es una reflexión sesgada.
Un movimiento muy especial es aquel que a cada punto P del plano
le hace corresponder el mismo punto P.
Se trata del movimiento que deja todo como estaba
y que se denomina movimiento identidad.
Toda figura tiene por simetría el movimiento identidad.
Obsérvese que la realización de dos
movimientos, uno a continuación de otro,
es de nuevo un movimiento, y al nuevo movimiento así conseguido
se denomina producto de los dos primeros.
Hemos definido así una operación algebraica para movimientos.
El producto de dos simetrías del arabesco, que son traslaciones,
es otra traslación que también es simetría del arabesco.
El producto de dos reflexiones cuyos ejes se cortan es una rotación.
De nuevo, el producto de dos simetrías es otra simetría.
Se trata de un hecho general.
El producto del movimiento identidad por
otro movimiento es de nuevo tal movimiento.
Por otra parte, para cada movimiento del plano existe otro,
de modo que el producto de ambos es el movimiento identidad.
Se trata del movimiento que deshace el
primero, y se denomina movimiento inverso.
Si hubiera un movimiento que deshace el primero,
sería el movimiento que deshace el segundo.
Si hubiera un movimiento que deshace el segundo,
sería el movimiento que deshace el tercero.
Si hubiera un movimiento que deshace el tercero,
sería el movimiento que deshace el cuarto.
Si hubiera un movimiento que deshace el cuarto,
sería el movimiento que deshace el sexto.
Si hubiera un movimiento que deshace el cuarto,
sería el movimiento que deshace el sexto.
Si una figura o arabesco posee una simetría,
el movimiento inverso de tal simetría es de
nuevo una simetría del arabesco o de la figura.
Se ha definido así una operación, el producto,
sobre el conjunto de todos los movimientos
y también sobre el conjunto de simetrías de un arabesco.
Tal operación verifica las siguientes propiedades.
Asociativa Asociativa
Existe elemento identidad
Existe elemento inverso
Tenemos así una estructura algebraica
sobre el conjunto de todos los movimientos
y también de las simetrías de una figura.
Tal estructura algebraica se denomina grupo.
Grupo Los grupos aparecen muy frecuentemente en matemáticas,
pues es la estructura que permite definir una igualdad o equivalencia.
En nuestro caso, define la igualdad de figuras planas.
Dos figuras se dice que son iguales si existe
un movimiento que transforma una en otra.
Movimiento
Además de los movimientos, existen otras transformaciones del plano,
como las homotecias
o las transformaciones afines.
Con estas nuevas transformaciones, se pueden obtener
grupos más amplios que el grupo de movimientos.
Con tales grupos, se define una noción nueva de igualdad de figuras,
lo que da lugar a otro tipo de geometrías.
Si suponemos un arabesco que se extiende indefinidamente en el plano,
tal arabesco puede tener simetrías que son traslaciones.
Si un arabesco tiene un grupo de
simetrías que contiene a dos traslaciones,
cuyos vectores no son paralelos, entonces tal grupo
de simetrías es un grupo cristalográfico plano.
Así, los grupos de simetrías de los arabescos
dan lugar a los grupos cristalográficos planos.
El nombre de grupos cristalográficos proviene
de que una generalización de tales grupos
existe en dimensión 3 y son los grupos
de simetrías de formaciones cristalinas.
Los grupos cristalográficos planos se clasifican
de acuerdo con el tipo de movimientos que poseen.
El cristalógrafo ruso Edgraf Fedorov, a finales del siglo XIX,
descubrió los 17 grupos cristalográficos del plano.
Los matemáticos españoles José María Montesinos y Rafael Pérez Gómez
demostraron que todos los grupos cristalográficos planos
aparecen como grupos de simetrías de arabescos en la alambra de Granada.
Cualquier grupo cristalográfico plano induce una acción
de un grupo finito de homeomorfismos sobre un toro.
Dado que existen exactamente 17 tipos topológicos de tales acciones,
ello prueba que hay exactamente 17 grupos cristalográficos planos.
Para ejercitarnos con los movimientos del plano,
vamos a mostrar con motivos procedentes
del Palacio de la Alambra de Granada,
simetrías de tales arabescos.
Estudiemos las simetrías del arabesco
de la yesería de la Sala de los Reyes.
Posee simetrías que son traslaciones.
Los vectores de algunas de las traslaciones
posibles son los representados sobre el diseño.
Tiene simetrías que son rotaciones de 60 grados, 120 grados y 180 grados.
Los puntos señalados son centros de rotación de 60 grados,
180 grados y 120 grados, que son simetrías del arabesco.
No posee simetrías que sean reflexiones.
El grupo de simetrías del arabesco de la yesería de la Sala de los Reyes
se denomina, siguiendo la notación internacional de cristalografía, P6.
P6
Este arabesco tiene simetrías que son rotaciones de 180 grados
y simetrías que son reflexiones en dos direcciones distintas.
Además, hay rotaciones de 180 grados de tres tipos diferentes.
Dos de tales tipos tienen sus centros sobre ejes de reflexión.
El grupo cristalográfico correspondiente a las
simetrías de este arabesco se denomina CMM.
CMM Hay arabescos cuyas únicas simetrías son traslaciones.
Los colores evitan la existencia de otras simetrías.
La rotación de 120 grados que estamos realizando
no es simetría, pues no preserva los colores.
El grupo cristalográfico de las simetrías de un
arabesco que solo consta de traslaciones se denomina P1.
El grupo cristalográfico de las simetrías de esta celosía de las ventanas
se caracteriza por tener reflexiones y rotaciones de 60 grados.
El grupo cristalográfico de tales simetrías
se denomina en notación universal P6M.
P6M P6M
En este arabesco hay simetrías que son reflexiones, en dos direcciones,
rotaciones de 180 grados, cuyos centros están sobre ejes de reflexión,
y rotaciones de 90, 180 y 270 grados, cuyos
centros no están sobre ejes de reflexión.
P4M También posee simetrías que son reflexiones sesgadas.
El grupo cristalográfico que define la
simetría de este alicatado se denomina P4GM.
P4GM En este arabesco vimos que había rotaciones de 180 grados,
cuyos centros están todos sobre ejes de reflexión que son simetrías.
El grupo cristalográfico se denomina en este caso PMM.
En este arabesco aparecen tres tipos de rotaciones de 120 grados.
PMM Sobre los mismos centros, las rotaciones de 240 grados,
que son el producto de dos rotaciones de 120 grados con tales centros,
son también simetrías del arabesco.
La otra característica diferenciadora del grupo es que los
centros de rotación están todos sobre ejes de reflexión.
El grupo cristalográfico correspondiente se denomina P3M1.
En este arabesco no hay reflexiones y posee
simetrías que son rotaciones de 90, 180 y 270 grados.
El grupo cristalográfico correspondiente se denomina P4.
P4
Muchos autores han coincidido en señalar que el reconocimiento y búsqueda de los
grupos de simetrías de arabescos y figuras es divertido además de instructivo.
En la documentación que se adjunta a este vídeo encontrará una tabla con la que puede
conseguir identificar todos los grupos cristalográficos planos como grupos de simetrías.
Confiamos que este audiovisual contribuya a estimular su interés por la
geometría euclídea en particular y por el álgebra y la geometría en general.
Podemos garantizar que en el estudio profundo de estas ramas de la matemática
encontrará motivos tan bellos y dignos de contemplación como los arabescos de la Alambra.
[Música]