Bienvenidos al curso cero de matemáticas para ingenieros.
En este vídeo vamos a introducir
los contenidos del bloque trigonometría y números complejos.
La trigonometría nace para estudiar la relación entre los lados
y los ángulos de un preámbulo.
En primer lugar, vamos a recordar algunos resultados importantes
relacionados con los triángulos.
Luego vamos a definir las razones.
Tiene una métricas entre ángulos rectángulos también hablaremos
de la circunferencia biométrica y para acabar,
vamos a extender la noción de razón trigo nanométrica
a toda la red real.
Esto es hablaremos de las funciones tres econométricas,
la manera usual de medir;
ángulos es usando grados sexagésimo males con el transportador.
Recordemos que un grado sexagésimo mal sustenta un arco
cuya longitud es una 360 va a parte de la longitud de la circunferencia
recordemos los elementos notables de un triángulo que son
un conjunto de puntos y rectas relacionados con el triángulo,
que tienen alguna propiedad geométrica interesante,
por ejemplo, las medianas;
son segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado puesto.
Las tres medianas del triángulo se cortan en el Baricentro.
Las medidas trizas son rectas perpendiculares
a los lados,
que pasan por el punto medio de cada lado,
y se cortan en un punto que es el centro.
El centro es el el centro de la circunferencia,
circunscrita al preámbulo;
las vistas actrices, cortan cada ángulo en dos partes,
y se cortan en el incendio, que es el punto, que es el centro
del hacer conferencia inscrita.
Para acabar, tenemos las alturas que son segmentos
que unen un vértice de manera perpendicular con el lado opuesto
o con su prolongación, y se cortan en el centro.
También hablaremos del perímetro y el área.
El perímetro sabemos que es la suma de las longitudes de los lados
y el área, cómo no va a ser por altura partido por 2,
pero también es importante tener en la cabeza fórmulas
como la de Nerón,
que nos permiten calcular el área a partir de ese mi perímetro
repasemos ahora dos teoremas clásicos de geometría,
que son el tema de Tales y el teorema de Pitágoras.
Bajo el nombre del teorema de Tales tenemos dos resultados
el primero sobre triángulos semejantes que nos dice
que si en un triángulo dibujamos una recta paralela,
a una de sus lados, obtenemos un triángulo semejante,
al triángulo con el como es comenzado.
El segundo resultado nos dice que si tenemos un triángulo
de modo que un uno de los lados es el diámetro de una circunferencia
y el vértice opuesto está sobre la circunferencia,
entonces, dicho triángulo es un triángulo rectángulo,
por otra parte tenemos el teorema de Pitágoras que nos relaciona
la longitud de los lados de un triángulos rectángulo,
y nos dice que la suma de los cuadros de los catetos es igual al cuadro
de la hipotenusa.
La importancia de este teorema radica en que es posible.
Gracias a él calcular la distancia entre dos puntos.
Dados tenemos dos puntos.
Calculamos, o hallamos,
el triángulo rectángulo asociado y la distancia entre los 2,
dos puntos es exactamente la longitud de la hipotenusa.
Bien pasamos ahora a hablar de la razón
entre econométricas, que es su nombre,
radica que son el ratio.
Entre los lados de un triángulo rectángulo
tenemos el seno de un ángulo que es el cateta,
puesto partido por la hipotenusa, el cose Anadón Angulo,
que es el catetos yacente
-partido por la hipotenusa
y la tangente, que es el cateta puesto partido por el cafetito,
adyacente mediante sencillos razonamientos geométricos
y El teorema
-de Pitágoras.
Podemos establecer las razones,
tenemos no métricas de los ángulos agudos más usuales,
como son los de 30º,
grados, 45ó 60º.
grados.
Bien, tenemos ahora nuestra circunferencia gone a métrica
la circunferencia econométrica es una circunferencia que nos va
a ayudar a definir las razones trígolos métricas de ángulos,
que no son necesariamente agudos;
la circunferencia está centrada en el punto 0,
cero tiene Radio 1.
Los ángulos los vamos a medir.
Sobre esta circunferencia en radiales recordando que la medida en radiales
se corresponde con la longitud del arco,
decir.
Conferencia de radio,
unidad que se va recorriendo desde el punto 1,
cero al punto de giro a su alza.
Así un ángulo de un radial.
Corresponde con una bulo cuya longitud de arco
es exactamente el radio de la circunferencia.
La relación entre rabia les y grados la tenemos en esta fórmula
y de hecho los radiales son los que se usan en matemáticas,
porque simplifican mucho las fórmulas.
Cuando uno las usa radiales en vez de en grados en la circunferencia,
podemos ahora definir el seno y el coste, nadie un ángulo,
cantidad cualquiera, dado un ángulo, alpha cualquiera.
Un número real, el coste no, y el seno vienen dadas
por las coordenadas del punto a su alza,
es decir, cosa no de alza.
Seno de alza.
Podemos ver en este dibujo un conjunto de seno psicógenas
de los ángulos más conocidos.
También es fácil ver que el seno de hidrógeno hasta razones trigo,
no métricas definidas en toda la red real,
son periódicas con un periodo de 2000 además,
siempre que el coste no sea distinto de 0.
La tangente se puede definir como el seno partido por el coser.
También estudiaremos las identidades trigo nanométrica
es que son una serie de relaciones entre estas razones,
econométricas, por ejemplo, la identidad trigo,
a una métrica fundamental la que usa el teorema de Pitágoras
y que nos dice que el seno cuadrado más el cosa
no cuadrado es igual a uno al cuadrado,
que en este caso es el radio de la circunferencia Francia.
También recordaremos las de ángulos suplementarios complementarios,
opuestos las fórmulas de la suma,
y la diferencia de ángulos, las del ángulo doble
y el ángulo mitad el producto,
asumas y sumas a producto y cómo,
como no, los tiene más del seno y el tema del consumo,
que nos ayudan a calcular lados y ángulos de triángulos,
que no son necesariamente triángulos.
Rectángulos.
Las funciones,
tres econométricas las podemos definir a partir de la razón.
Estudio econométricas que acabamos de ver son estas dos funciones.
El Senado y el cose, no, que tienen;
se puede ver en el dibujo de periodo 2000 además las estamos midiendo
en radiales.
Aquí tenemos también la función, traiga una métrica, tangente,
que, como podemos ver, presenta discontinuidades siempre
que el coste no sea nula;
una clase importante de funciones trigo nanométrica
son las sinusoide tales que se usan mucho en ingeniería,
y cómo podemos ver aquí un ejemplo se pueden dibujar a partir de estirar
o desplazar.
La gráfica del ser.
También podemos calcularlas inversas de las funciones;
pregona métricas conocemos el valor del seno de una ángulo Alpha
y queremos saber a qué angulo alpha corresponde.
Estas son el arco seno.
El arco posee no y la cuota agente, que es lo que sucede,
que cuando queremos calcular este tipo de funciones inversas
la gráfica por ejemplo del seno
no es una, no es una función intelectiva;
es decir, dados dos ángulos les puede corresponder el mismo seno
por el tema de la periodicidad.
Entonces tenemos que restringir la función seno
a un intervalo donde dicha función sea intelectiva,
y así definimos la función arcos e no correspondiente
a la rama del seno donde el ser nuestra definido en una interacción,
un dominio donde la función es directiva.
Bien, acabamos con esto, aparte de trigonometría,
y pasamos con los números a los números complejos.
Hemos visto una serie de conjuntos de numerosos naturales.
Los enteros, los racionales, los reales,
pero, y de dónde surgen los números complejos?
Bueno, pues tenemos, por ejemplo, la prensa,
la siguiente pregunta.
Es posible construir un cuadrado cuyo área sea menos -1,
o, lo que es lo mismo, es posible resolverla ecuación,
equis cuadrado igual al menos -1 cardan en el siglo 16
observo que para obtener soluciones reales de ciertas ecuaciones púbicas
necesita usar por el camino las soluciones no reales
de la ecuación equis cuadrado igual a menos -1.
De ahí que surgió la necesidad de ampliar los números,
y se decidió y se decidió poner la unidad imaginaria,
que es un número que cumple exactamente.
Qué cuadrado es igual, al menos -1 no fue hasta la época
de hoy.
Le usted que se aceptó de forma completa
este tipo de unidad imaginaria.
Muchos fenómenos de nuestro mundo real,
especialmente los relacionados con la física y la ingeniería,
se describen mejor, usando números complejos.
Los números complejos son de la forma a más bei,
donde a es parte real y ver la parte imaginaria,
y hemos dicho que es la unidad imaginaria,
que cumple la ecuación y cuadrado igual
a menos si desigual hacer o tenemos un número imaginario puro,
y si ves igual a 0.
Tenemos un número real,
además de notamos porc al cuerpo de los complejos.
Qué operaciones tenemos?
Bueno, pues son
las operaciones que ya conocemos de los números reales.
Lo único que tenemos que tener en cuenta que cuadrado
es igual, al menos -1 así las sumados,
complejos sumamos parte real por una parte,
y la parte imaginaria.
Por otra, para hacer el producto, multiplicamos
como si fueran polinomios solamente teniendo en cuenta
que cada vez que nos encontremos y cuadrado
lo tenemos que sustituir por menos o no para hacer la división
tenemos que tener en cuenta que hay que acabar con un complejo
de la forma Hamás bei, y el truco está en multiplicar
non verdadero y denominador por el conjugado del denominador,
para que en el denominador nos aparezca un número real
recordemos que, conjugado en número complejo a más bei, es a menos bei.
Cuál es la representación geométrica de los números complejos?
Bueno, para eso usamos el plan.
Cada número complejo a más, veis?
Se corresponde con un número del plano a este número del plano.
Viene determinado por su módulo, que es la distancia del origen,
a ese punto y para calcularlo.
Usamos de nuevo el teorema de Pitágoras
y el argumento que es un conjunto de ángulos, de tal forma
que la parte real sea, es recoge no de eta
y la parte imaginaria sea r, se detecta usando estas coordenadas
que se llaman coordenadas polares.
Podemos obtener la forma trigo econométrica
después de expresar un número complejo?
Esto es z iguala, es recoser una detecta más
y se detecta?
Dónde r es el módulo y te está en el conjunto argumento.
Recordemos ahora la fórmula de hoy, que es uno de los resultados
más importantes de matemáticas que para todo número real
elevado hay, eta es cosa, no detecta más
y se detecta.
En el caso particular te da igual a pie
obtenemos la identidad de hoy lo que dice.
Que elevado haití más 1, es igual a 0.
Esta identidad nos ayuda a escribir la forma exponencial
de un número complejo que es r por elevado a eta,
y esta forma es muy importante,
porque gracias a que se cumple la ley de los exponentes,
en la función exponencial,
podemos hacer una serie de operaciones
con los números complejos de una manera muy simplificada,
por ejemplo, para hacer una potencia,
una masa y elevado a 1.000 tendríamos que multiplicar
una más y 1.000 veces.
Sin embargo, si lo escribimos con esta forma exponencial
el cálculo sale muy sencillo, simplemente el radio del número
uno más y lo elevamos a 1.000 el argumento
lo multiplicamos por medio.
De la misma manera podemos hacerla raíces.
Si queremos hacer la raíz quinta de un número complejo,
en este caso hemos escogido 32, entonces hayamos en el módulo de 32,
que es 32, su argumento es 0, más dos capil más cualquier vuelta,
y para hacer la raíz lo mismo el módulo es 32,
elevado a un quinto y el argumento es dos capi elevado
entre dividido entre 5.
Así nos salen cinco números complejos diferentes,
con argumentos 0; 1.000 cuadro, 506 508 periquitos,
notemos que si ponemos ahora 10 quintos volvemos a tener
un número de los que ya teníamos aquí hemos dibujado las raíces de número
complejo que como están en una circunferencia de Radio 2,
pues están todos sobre la misma circunferencia
y además forman un polígono regular, en este caso un Pentágono.
Para acabar,
vamos a volver a recordar cómo surgieron los números complejos
a través de las ecuaciones de la resolución de la ecuación.
Al resolver una ecuación de segundo grado.
Podemos obtener una raíz real, dos o ninguna;
esto nos pasaba cuando estábamos trabajando con los números reales;
sin embargo, cuando trabajamos con números complejos
esto no nos pasa.
Ya nos ha dado una pista el cálculo de las raíces
así enunciamos el teorema fundamental del álgebra,
que nos dice que todo polinomio de grado en con coeficientes ence
tiene exactamente en soluciones ence, contando su multiplicidad,
y con esto acabamos el bloque de trigonometría
y no me los complejos.
Muchas gracias por vuestra atención.