Hola, soy este Ergin del departamento de Matemática Aplicada uno de la uned
en este vídeo.
Voy a hacer una introducción al tema de integrales del curso,
cero para ingenieros,
vamos a comenzar dando la idea geométrica
que motivó el estudio de integrales más adelante,
vamos a ver la relación entre integración y derivación,
además, para saber métodos de integración que nos van
a poder resolver nos van a permitir resolver los problemas
y vamos a terminar con una aplicación en el cálculo de áreas
de la integración.
Quiero señalar antes de empezar
que es lo más importante de las integrales,
es practicar mucho hacer muchísimos ejercicios,
porque solamente así vamos a poder dominar este tema y vamos a poder
resolver los problemas que nos van a salir a lo largo
de toda la ingeniería, el cálculo de áreas de figuras,
motivo, la integración, el tema de la integración.
Los primeros antecedentes los tenemos en la antigua Grecia.
Donde calculaban el área de un círculo aproximando
a través de polígonos regulares el perímetro de la circunferencia.
Como se ve,
en esta figura cada vez se tomaban polígono de mayor número de lados.
Se calculaban sus áreas que eran fáciles de calcular,
y eso nos permitía aproximar el cálculo del área de círculo.
A partir de eso surge el problema de calcular la.
El área de una.
La gráfica de una función entre dos rectas dadas por equis iguala,
y que, según la b y el eje equis, una primera aproximación
se hace a partir de rectángulos bajo la gráfica de la función
o encima de la gráfica de la función.
Si tomamos la base de ese rectángulo cada vez menor
y sumamos las áreas de todos los rectángulos,
llegamos a una aproximación de este área que buscamos.
Así se define.
La integral definida es el área de la región delimitada
por una función positiva.
Fm equis dibujada en esta gráfica entre las rentas equis igualad
y equis según la b y el Egeo equis se indica como integral que es.
Este símbolo de aquí entre A y ive.
De fe de equis diferencial,
de equis diferencial de equis, nos indica,
respecto a que variable integramos que es la variable de la función.
Más adelante, neutro en el ifmif buscaba la relación
entre la derivación buscado en una operación empresarial,
la derivación, y llegaron a que esta era la integral;
a partir de esos se define integrado indefinida.
Tenemos una función continua
FM minúscula, definida en un intervalo a b,
y existe una función eje mayúscula,
que verifica que su derivada, la derivada de fe mayúscula,
es entonces f, se llama primitiva
o integral indefinida de fe.
Esto se escribe como eje de quizás igual a la integral,
el mismo símbolo que hemos visto antes de fe,
de equis diferencial de equis.
Hay una diferencia obvia respecto a la integral definida,
que es que aquí no nos aparece los límites de integración,
que son A y b,
y esto es algo formal.
Sin embargo la diferencia es mucho más profunda
ya que la integral definida es un número y la integral indefinida
es una función a partir de la definición integral
definida y de integral indefinida.
Buscamos una relación de ellas.
Esto nos lo da las teorías más fundamentales del cálculo.
Vamos a empezar con la regla de barro.
Tenemos una función hace minúscula, cualquiera que es continuo,
en un intervalo cerrado y fe mayúsculas,
una primitiva de fe minúscula;
es decir, que la derivada de este mayúscula es fbi.
Muscula entonces la integral entre A y b,
de feder, equis diferencial de equis f mayúscula de.
Lo indicamos,
así como una barra horizontal entre ive,
que no es nada más que la resta de efe; ve menos f mayúscula
en a esto nos lleva a un resultado mucho más general,
que es el teorema fundamental del cálculo.
Este resultado nos dice que he dado una función
e feminino escuela de equis, que es continuo,
en un intervalo cerrado a b.
Entonces una función es mayúscula de equis definida
como la integral entre A y equis.
Aquí aparece la variable, una variable que es la equis,
la variable de la función que fue mayúscula.
Pues bien, la integral entre a y equis déficit
minúscula de te diferencialmente es una función derivable.
Quiero señalar que aquí la variable de integraciones
hemos cambiado la anotación porque aquí la variable
Kiss que la que utilizamos normalmente para funciones
aparece en el límite superior de integración.
Entonces, tendremos que esta función f, mayúsculas derivable
y que además la derivada deje mayúscula
ese femenino escuela de equis dentro del intervalo
abierto a de esto es un resultado muy importante,
porque no siempre es posible calcular una primitiva función;
es un tema muy complicado.
Los métodos de intervención no siempre nos llevan a una solución
de una integral indefinida.
Pues bien, lo que sabemos de la integran indefinida,
utilizando como uno de los perdoni integral definida,
utilizando uno de los límites de integración equis
es que es una función que es continua,
pero que también es derivable,
y de esta función podemos estudiar muchísimas características,
como crecimiento de crecimiento, con cavidad complejidad extremos,
y este resultado se va a utilizar muchísimo a lo largo
de toda la ingeniería.
El siguiente problema que nos planteamos
es una vez que ya hemos definido integral definida integral indefinida
es bueno yo tengo un problema como lo resuelve como íntegro.
Lo primero es hacer una tabla
donde aparecen las principales integrales o principales primitivas
de funciones sencillas.
Es una tabla de alguna forma, inversa a una tabla de derivadas
que parecen hemos señalado las las principales,
que es lo primero que nos tenemos que hacer,
que aprender, tenemos que aprendernos a esa tabla para luego poder aplicar
otros métodos.
Quiero señalar que siempre aparece una constante
cuando calculamos una primitiva siempre aparece una constante
de integración porque si dos funciones
difieren en una constante, sus derivadas son iguales,
por lo tanto la primitiva de una función en realidad
la podemos considerar como un conjunto de funciones
que solo se diferencian en una constante.
Una vez que ya nos conocemos la tabla la manejamos
sin ningún tipo de dificultad.
Vamos a utilizar distintos métodos para abordar problemas integrales,
el primer método que encontramos es resolver una integral que casi
es una integral inmediata.
Por eso se llama casi inmediata,
donde unas manipulaciones muy sencillas
dentro del símbolo integral llevan a una integral inmediata.
Otro método muy útil es el método de integración por partes,
que no es más que la aplicación de la derivada
de un producto al tema de integración y que los apuntes que hay en el curso
podréis ver con mucho detalle con muchos ejemplos.
El siguiente método que estudiamos es el cambio de variable,
que es una aplicación de la regla de la cadena para derivadas
y donde de alguna forma también transformamos una integral
en una integral muchísimo más sencilla.
Además para expresiones racionales
tenemos que trabajar el polinomio que aparece la fracción;
una función racional que aparece.
Tenemos que conseguir primero
que sea una un cociente entre dos polinomios,
donde el grado del numerador es menor que el otro, el denominador,
y luego además vamos a descomponer esta fracción
en otras fracciones racionales
cuyo derivada conozcamos de forma más sencilla
y finalmente vamos a estudiar la integración de expresiones trígolos
métricas a través de las relaciones entre las razones trígolos métricas
transformamos la integral.
En otras más sencilla, y también tenemos en cuenta
que la derivada del coser no es el menos seno
y la derivada del seno es el coste,
no una vez que ya hemos dominamos el tema de integración
para lo que tenemos que hacer muchísimos ejercicios,
como ya hemos dicho, podemos pasar a resolver cálculo de áreas.
Aquí presentamos algunos ejemplos.
Si tenemos un el queremos calcular el área bajo una función,
una función entre la gráfica de esta función y el eje o equis,
y entonces rectas paralelas al eje e y simplemente tenemos
que considerar los distintos casos aplicarles sentido común
y podemos resolver todos estos estas situaciones,
pero además podemos resolver otro tipo de situaciones.
Por ejemplo, podemos calcular el área entre 2,
las gráficas de dos funciones que se cortan
o que no se cortan en ese caso,
dando entre que dos valores de rectas paralelas al eje y queremos hacerlo.
Esto ha sido todo.
Muchas gracias.