Hola en este vídeo vamos a hacer una breve introducción
sobre el concepto de derivada y sus aplicaciones.
Bien, dada una función real de variables real,
lo primero que debemos saber es que la derivada de la función
en un punto representa la tasa de crecimiento
o de crecimiento de dicha función.
En el punto este valor, el de la derivada en el punto
coincide con el valor de la pendiente de la recta,
tangente a la gráfica de la función en dicho puerto cuanto mayor
es la pendiente.
La inclinación de la recta tangente, mayor es la tasa de crecimiento
de la función en el punto bien como aplicación de la,
derivada como aplicación directa de la derivada reside el estudio
de los intervalos de crecimiento y de crecimiento de la función,
así como los intervalos de complexitat y con cavidad
y también el cálculo de los máximos y mínimos locales,
lo que convierte a la derivada en una herramienta fundamental
en la resolución de problemas de optimización.
Bien, vamos a recordar el concepto de derivada,
sea y un intervalo abierto es una función definida
ni y que su 0, un punto de la derivada de que su cero
se define como el límite, cuando h tiende hacia cero de eje
de quiso cero más h
menos de quiso cero partido por h para entender esta definición
observemos la gráfica que aparece debajo en ella se representan;
los puntos de accisa, quiso cero que su cero más.
H, donde haches un valor positivo y se representa la recta,
se cante ese.
Subo h, que pasa por esos dos puntos bien observamos
que bueno antes de nada la pendiente de la recta se cante viene dada
por el cociente que aparece en la definición;
es decir, la pendiente viene dada por ese de que su cero más h
menos cede quiso cero partido por bueno ahora observamos
que a medida que h disminuye la recta se cante, se aproxima a la recta;
tangente a la función en el que suceda representada en verde,
por tanto, en particular la pendiente de la recta,
se cante cuando h tiende hacia 0,
tiende a la pendiente de la recta.
Tangente.
Es decir, el límite cuando se entiende hacia cero
de CD qué sucede o más h menos se cede
que su cero partido por h es la pendiente de la recta.
Tangente a la gráfica bce en xhup
y ese valor es por definición la derivada de fe de que su 0,
es decir, prima de que su 0, que es la anotación que usualmente,
se utiliza bien, decimos que una funcione,
es derivable en el intervalo y se tiene derivada en cada punto
de una propiedad fundamental de las funciones.
Derivables.
Es que si efes derivable
ni entonces es, continúan y, por otro lado, si ejes derivable
en el que cero entonces ya sabemos que la recta tangente
a la gráfica vez en su 0,
tiene como pendiente la derivada de que sucede.
Es decir, ese prima de que sucede y además está recta
tiene que pasar por el punto de coordenadas,
quiso cero eje de qué sucede con esta información?
Ya es fácil determinar la ecuación de la recta tangente,
que viene dada por la ecuación que aparece en la imagen;
otra propiedad importante de las derivadas.
Es que si ejes derivable de que su cero una manera,
repito, una manera de saber si heces derivable
en el que sufrieron gráficamente es la siguiente.
Una funcione fe, es derivable.
Si gráficamente, su función cambia.
La gráfica cambia de manera suave,
sin producirse picos o puntos ángulos;
en la imagen de la izquierda tenemos representada
una función que es derivable en todo punto,
ya que su gráfica cambia de forma suave.
De este modo, en cada punto
podemos aproximar localmente; la gráfica por la recta tangente.
Sin embargo en la imagen de la derecha
vemos una función que de hecho es la función, valor absoluto,
que no es derivable en el punto de que se igual acero,
ya que en ese punto se presenta un pico pico bueno afortunadamente
para calcular derivadas, disponemos de una serie de reglas,
de derivación y de una tabla de derivadas inmediatas,
que permite el cómputo de las derivadas
sin utilizar límites.
No voy a entrar en detalle sobre el manejo de estas reglas.
En el curso virtual tenéis una serie de ejercicios
para practicar lo que voy a hacer ahora
es pasar a describir brevemente las aplicaciones de la derivada,
como primera aplicación.
Tenemos el estudio del crecimiento y de crecimiento de la función.
Bueno, en primer lugar observamos la siguiente gráfica
que tenemos como ejemplo.
Se ha representado la función equis a la cuarta menos -2 equis,
al cuadran piel de la gráfica.
Es fácil ver que esta función es de creciente,
en el intervalo menos infinito menos -1 también
en el intervalo de extremos cero uno que es creciente
en el intervalo de extremos menos -1, cero Unión,
el intervalo uno más infinito.
Si no tuviésemos la representación gráfica de fe disponible,
también podríamos estudiar los intervalos de crecimiento
y de crecimiento de la función,
utilizando el resultado que aparece a continuación.
Bueno, supongamos que la función heces derivable
ni entonces, si la derivada de ceps mayor,
igual que 0, en-y entonces heces creciente en el intervalo
y si la derivada veces menor, igual que Cerón,
y entonces heces de creciente en el intervalo.
Si volvemos al ejemplo,
la derivada de la función f viene dada por cuatro equis,
que multiplica equis al cuadrado menos, son y es fácil ver
que esta derivada es mayor o igual que cero en el intervalo menos -1,
0, también en el intervalo, uno infinito y es menor igual
que cero en el intervalo menos infinito, menos -1.
Unión 0, uno coincidiendo con lo que habíamos dicho anteriormente.
Bien, ahora hablemos sobre los extremos relativos
de la función.
En primer lugar, observamos de nuevo
el ejemplo.
Vemos que esta gráfica esta función
tiene tres extremos relativos dos mínimos locales en equis,
igual al menos -1,
que igual iguala uno un máximo local en el que se igual hace.
Observamos también que la recta tangente a la gráfica
de la función en esos tres puntos es horizontal.
Qué tal lo que significa que la pendiente es cero
como ya sabemos, eso quiere decir que la derivada de la función
en esos tres puntos es 0.
De aquí de esta idea ya parte
la siguiente condición necesaria de extremo relativo
que aparece a continuación.
Siece es derivable en xhup 0, tiene un extremo relativo.
En ese punto entonces la derivada de la función en ese punto es 0,
es decir, dada una función derivable,
los extremos relativos de la función
hay que buscarlos dentro del conjunto de puntos que anulan la derivada.
En el ejemplo que tenemos aquí la derivada de cuatro equis por equis
al cuadrado menos -1, se anula si solo
si se es igual a cero además menos solo,
es decir, obtenemos los extremos relativos
que teníamos ya en la gráfica.
Bueno, hay que decir que en este caso coincide
que los tres puntos que anulan la derivada son extremos relativos,
pero no siempre ese es el caso.
Por ejemplo, la función equis al cubo
tiene derivada tres equis cuadrado.
Que se anulan el punto 0, pero el punto 0,
los extremos relativo una vez se calculan
los a los puntos que anulan la derivada.
Tenemos que comprobar si esos puntos son extremos relativos o no.
Por ejemplo, si consideramos el punto de que se igual a cero
sabemos que es un máximo local,
aun no teniendo la representación gráfica,
porque ya hemos estudiado el signo de la derivada anteriormente
y sabemos que el signo de la derivada es mayor,
igual que cero a la izquierda,
de que se igual a cero es menor igual que cero a la derecha,
por lo que sabemos que la función pasa de ser creciente
a ser decreciente en el punto de que es igual a 0,
indicándonos que el punto es un máximo local.
Bien, pues ahora para continuar vamos a ver
cómo caracterizar los intervalos de con cavidad y convexa edad
de la función.
En primer lugar, recordamos que una funcione,
es convexa en y si dado cualquier segmento que pasa
por cualquier parte puntos de la gráfica
este segmento siempre queda por encima de la parte de la gráfica
comprendida entre esos dos puntos.
Análogamente, unas funciones con cava.
Si cualquier segmento, que pasa por cualquier parte de puntos
de la gráfica queda siempre por debajo de la parte de la gráfica
comprendida entre esos dos puntos.
La definición formal de con cavidad
y convencidas la tenéis debajo bien como caracterizar los intervalos
de con cavidad y de conexidad de la función, utilizando derivadas,
pues el resultado que se utiliza es la siguiente.
Condición suficiente de con cavidad y con exhiba.
Consideramos ahora que la función f es dos veces derivable,
es decir, existe la derivada primera y la derivada de la derivada,
es decir la derivada segunda, si la derivada segunda
de que es mayor igual que Cerón y entonces heces con vexant,
y si la derivada segunda de quise es menor,
igual que Cerón, y entonces efe es con cada año.
Si miramos de nuevo
el ejemplo se tiene que la derivada segunda de, que es 0, si solo
si quise se iguala más menos raíz de tres partido,
tres hemos representado en verde los puntos correspondientes
con las abscisas más menos raíz de tres partido tres
bien es fácil ver ya que sabemos que la derivada segunda
de viene dada por cuatro veces tres equis al cuadrado, menos -1,
que la derivada.
Segunda, es menor, igual que cero en el intervalo
de extremos menos -1, perdón, menos raíz de tres partido,
tres raíz detrás.
Partido tres es mayor igual
que cero en menos infinito menos raíz de tres partido,
3; unión el intervalo de extremos raíz de tres partido,
tres infinito.
Por tanto, sabemos que la función es con cava en el intervalo
menos raíz de tres partido, tres raíz de tres espacio,
tres convexa.
En el resto de la recta real, como podemos apreciar en la imagen,
bien, los puntos, en verde,
si observamos satisfacen la siguiente propiedad
en el punto de la izquierda, la función pasa de ser convexa
a ser con cava y en el punto de la derecha
la función pasa de ser con cava a ser convexa.
Los puntos en los que la función cambia su curvatura,
ya sea de convexa, con cava o de combate
o de con cava convexa reciben un nombre especial,
se conocen como puntos de inflexión y satisfacen la propiedad
de que los puntos de inflexión anulan la segunda derivada.
Bueno, esto es todo lo que quería contar en este vídeo ya sabéis
que en la plataforma del curso virtual
tenéis más documentos sobre el concepto de derivada
y sus aplicaciones.
Muchas gracias por su atención.