Sí.
Este curso está dirigido a los estudiantes de ingeniería
que estén preocupados por su formación inicial
en matemática.
Si usted nos está viendo y ha superado la primera dificultad,
que es precisamente tomar conciencia de la necesidad
de prepararse para los estudios, que va a comenzar cuántas matemáticas
y sobre todo qué matemáticas necesita un estudiante de ingeniería
a riesgo de generalizar, podemos establecer dos conclusiones
aparentemente contradictorias, probablemente necesita más formación
de la que tiene y seguramente sabe mucho más de lo que cree.
No pretendemos repetir ni repasar todos los conceptos
que habrá estudiado a lo largo de sus 10 o 12 años
que lleva estudiando matemáticas.
En este curso lo que ofrecemos es un resumen a modo de guion
o de esquema de los principales contenidos
y resultados que habrá visto a lo largo de su vida.
En todos los casos ofrecemos materiales complementarios
para profundizar en los aspectos más difíciles
o simplemente los más interesantes.
Esos materiales los podrá encontrar en el curso virtual.
En cualquier caso, la herramienta más importante
es el contacto directo con el profesor,
por lo que les animamos a participar en los foros o bien no a
ponerse en contacto con los profesores mediante correo
electrónico.
Este curso está dividido en seis bloques
un primero de conjuntos números sucesiones límites aplicaciones
gráficas funciones continuidades etcétera
un segundo bloque de cálculo diferencial
un tercer bloque de cálculo integral.
El cuarto de trigo a una metía triángulos y complejos
y el quinto real recinto de álgebra y el sexto, de geometría.
Comenzamos entonces con el primero de los bloques que corresponde
a este título tan largo de conjuntos números
sucesiones límites aplicaciones gráficas funciones y continuidad
empezamos con los números naturales lo único que quizá resulte un poco
menos naturales incluir el cero tal vez por razones históricas,
alguien podría pensar y es habitual considerar
que los naturales comenzaron en el 1,
pero con la notación que utilizamos hoy para los números
todos sabemos que necesitamos el dígito 0.
Para poder ser escribirlo,
resultaría antinatural no considerar al 0,
como el número natural que podemos hacer.
Con los números naturales,
con los números naturales tenemos dos operaciones.
Sumar, multiplicar y además los tenemos ordenados.
Alguien pensará también,
podemos restar y dividir números naturales,
pero si lo hacemos, no salimos o nos podemos salir
fuera de los naturales.
Si yo al dos le quito 3, me sale menos.
-1 que ya no es un número natural, por lo tanto,
la resta y la división son operaciones parciales.
Sólo se pueden estar o dividir los números naturales
para obtener un natural en ciertos casos,
pero no siempre sea es lo que queremos decir,
es decir, que es una operación parcial,
un conjunto es infinito, y es lógico,
es casi una perogrullada.
Si tiene infinitos elementos,
esto quiere decir que un conjunto es infinito.
Si a cada número natural le podemos asignar un elemento de ese conjunto,
los conjuntos que no sean infinitos sabemos que se llaman finitos,
un conjunto numerable.
Si a cada uno de sus elementos
se le puede asignar un número natural diferentes,
en cierta forma es lo contrario de conjunto,
infinito, recíproco, repito, numerable si lo podemos enumerar.
Es decir, si a cada uno de sus alimentos
le podemos asignar como una etiqueta un número natural,
a veces de de palabra, numerable, para los infinitos numerables,
pero eso, según el texto en el contexto
en el que se encuentra, se aclarará y no hay ningún problema.
El siguiente conjunto numérico que se ha estudiado
en la enseñanza básica es el de los números natural.
El de los números enteros
que se obtienen añadiendo los números negativos a los naturales,
de nuevo tenemos, podemos sumar y multiplicar,
y perderemos una nueva operación total, que es la resta.
Siempre podemos restar 2,
números enteros para obtener otros números Ventero.
Sabemos también que los números enteros están ordenados,
y yo creo que todo el mundo conoce la forma de hacer
lo que es como está indicado; ahí los números naturales.
Perdón, los números enteros extienden a los naturales, es decir,
los naturales son un subconjunto y la división de enteros asesinados;
sólo una operación parcial; o sea, podemos dividir ocho entre 2,
pero si dividimos siete entre dos o bien lo hacemos
con una división con resto o bien con decimales,
pero nos salimos de los números anteriores.
El conjunto de los enteros es numerable
y eso es evidente, numerables hemos dicho
es que se pueden enorme enumerar,
es decir, podemos irnos los contando todos,
asignándole a cada 1, a un número natural,
a la izquierda, está puesto como hacerlo.
Comenzamos por el 0,
luego al menos -1 luego el uno luego al menos -2,
es decir, vamos saltando de negativo a positivo
y de esa forma los enumeramos todos, sin dejar ninguno fuera de la lista
lo que significa ser numerable.
El siguiente conjunto es el de los números nacionales.
Los números nacionales son los que se pueden expresar
como el cociente de 2,
números enteros, lógicamente, con ordenador distinto,
de la misma manera que los enteros extendían a los naturales,
los racionales extienden a los enteros,
es decir, los enteros o en un caso particular
de racional, el número cinco es lo mismo que cinco partido por 1,
por lo tanto es también un racional.
Tenemos una nueva operación,
además de poder sumar, restar multiplicar,
pero que podemos hacer con los racionalistas.
Dividirlos estas cuatro operaciones con todas las propiedades
que no vamos a enumerar pero que son digamos,
las que hemos aprendido en el colegio,
es lo que caracterizan la estructura de cuerpo.
Entonces,
las racionales son un cuerpo porque tiene esas cuatro operaciones
que funcionan como hemos aprendido en el colegio,
y además tenemos un orden tampoco me paró,
pero todos sabemos que los números están ordenados,
y ese orden es compatible con las operaciones
de una determinada manera,
que tampoco voy a explicar ahora.
El conjunto de los racionales es innumerable
de todo lo que he dicho hasta ahora.
Es el primer resultado que no es evidente,
es hasta cierto punto sorprendente.
El que tenga curiosidad que lo pregunten el foro virtual
y les daremos una explicación se puede comprender.
No hace falta tener unos conocimientos oficiales
de matemáticas es simplemente un razonamiento ingenioso.
Claro,
cambiamos que los números racionales no las expresamos de dos maneras
o bien como una fracción o bien como un desarrollo decimal.
Precisamente, los números racionales
son aquellos que tienen el desembolso.
Encima el periódico ya sea puro o mixto,
lo recordamos mejor con unos ejemplos.
Aquí tenemos lo hemos estudiado en el colegio,
tenemos distintos números puestos como fracción
y expresados en forma de desarrollo decimal.
Si uno no recuerda cómo se pasa de la forma fraccionaria
al desarrollo decimal, y viceversa,
pues que tranquilamente lo pregunte en este curso nadie le va a decir
que una pregunta está fuera del nivel y le van a dejar de contestar.
Por eso observamos es interesante ver que de la misma manera
que un número se puede poner distintas maneras
como fracción también se puede poner de diferentes maneras,
como desarrollo de ese mal, por ejemplo, cero con 34 período
es lo mismo que 0, 3, 43 periodístico escribiste.
Estuvimos todo seguido,
pues cualquiera comprueba que es así;
entre los racionales son particularmente importantes,
sobre todo para un ingeniero los que llamamos exactos;
son racionales;
exactos los que tienen un desarrollo decimal finito,
justamente la forma rigurosa es la que está adscrita
ahí normalmente no se representan así si no se ponen
en anotación científica.
Científica.
Consiste en que la parte que no es exponencial
lo que se denomina mantilla,
está limitado al intervalo uno 10 cuando se hace con esa normalización
se ve mejor con unos ejemplos?
Dice que el número está expresado en notación científica,
que es lo más habitual,
sino en matemáticas y sobre todo en Ingeniería
hemos dicho antes que los números exactos.
Son los que tienen un desarrollo decirme al finito y, por lo tanto,
son los que tienen cero período como parte periódica,
pero también tienen lógicamente un desarrollo de periódico
si no, no serían racionales.
Un número exacto si lo escribimos con la parte,
la matiza a no divisible.
Entre 10 tenemos perfectamente definidas por la expresión
que aparece en la presentación.
Cuál es el número de sus cifras?
El número de cifras significativas que tiene necesariamente?
Vemos que los números que están a la izquierda,
la derecha de desigualdad son 10 100.000,
etc entonces necesariamente será un número entero.
Tendrá que estar comprendido en uno de sus intervalos,
y ese intervalo es el que nos dice.
Las cifras significativas que tiene.
Se ve bastante mejor.
En un ejemplo, por ejemplo, el número 2, con 3.
Lo podemos escribir de esa manera, es decir,
sacando la parte entera que no sea difícilmente 10 vemos que tenemos esa
cambia tres dirigidos.
Por lo tanto, dos con tres tiene tres cifras significativas.
El número 5.000 tiene una sola cifra significativa,
y ese otro número que hemos puesto aquí tendría cuatro cifras
significativas.
La siguiente extensión es la de los números reales.
Los números reales
corresponden a todos los posibles desarrollos decimales,
es decir, tienen un número entero como parte
ante la valga la redundancia,
y cualquier secuencia de dígitos nueve como parte decimal,
es decir, con los racionales sobre el caso particular,
cuando esos desarrollos son periódicos,
cuando ponemos un desarrollo cualquiera tenemos entonces
un número real cualquiera.
Los números reales normalmente se visualizan,
como una recta,
y de hecho se le suele llamar la a los números reales.
Sería mala recta, real y a los números reales
se les llaman puntos de la recta.
Ponemos el énfasis una vez más que de la misma manera
que los enteros extienden a los naturales
y los racionales ascienden a los enteros.
Los reales extienden a los racionales.
Bueno, pues lo los reales;
tenemos las mismas operaciones que teníamos en el conjunto
de los racionales.
Por lo tanto, los números reales también son un cuerpo
y también son ordenados, es decir,
que en ese aspecto no se distinguen.
No hay una diferencia clara entre rey dentro de un momento mencionamos
cuáles son las diferencias más importantes, los números reales,
que no son racionales, se llaman irracionales,
y como cualquiera le gustaría poner un ejemplo de racional,
porque no es fácil probablemente al que lo haya oído alguna vez,
y le ocurrirá raíz cuadrada de dos el número,
pero no es evidente ver que no es fácil.
En general ver que un número es irracional.
El caso más sencillos escribir,
un desarrollo décima de la que hemos puesto 1.
Hemos puesto un número que solamente tiene los construido.
Con los dígitos cero uno lo que hacemos entre cada 2.
1.
Vamos aumentando progresivamente el número de los que ponemos
de esta manera.
No hay un periodo que se repita nunca que como no hay un periodo
que se repita nuevas racional, por lo tanto,
tiene que ser irracional, y ese es un primer ejemplo.
Mostró de este tipo de un número irracional,
por su presión que son monstruos, hay muchísimos,
más que racionales que racionales
en un sentido que no podemos precisar ahora.
Bueno, nos encontramos con el segundo resultado,
difícil pero muy importante,
y es que el conjunto la recta real no es numerable.
La demostración tampoco
requiere demasiados conocimientos de matemáticas,
pero no es obvio.
Es decir, es imposible enumerar todos los números reales
sin dejarse ninguno mientras écoles racionales
y que podía hacerse con los reales.
No es posible.
Bueno, recordamos realmente las dotaciones que se utilizan
para el intervalo cerrado y para el intervalo.
La principal propiedad de los números reales,
principal propiedad en el sentido que la distingue
de los racionales
y es uno de los motivos por los que todo el cálculo infinitesimal
se hace en r y no en kun, es el que está ahora mismo
en la pantalla.
Cualquier intervalo abierto de la recta real contiene infinito
si racionales e infinito, racionales es un resultado que puede resultar
hasta cierto.
Punto paradójico.
Hay infinito, racionales, infinitos irracionales,
están completamente mezclados en la recta real,
pero hay muchísimos más irracionales,
porque hemos visto antes que lo racionales, son innumerables,
suena como un trabalenguas, pero léanlo con cuidado,
mejor que olvídenlo y verán que no es tan complicado
como parece bien.
No solamente podemos afirmar que cualquier intervalo
abierto contiene infinitos irracionales e infinitos racionales,
sino que incluso contiene infinito, racionales, exactos.
Esto es muy importante para un ingeniero,
porque de hecho en un ordenador o una calculadora
los números que utiliza un ingeniero podríamos decir
no en los razonamientos abstractos sino en los cálculos,
son solo números exactos, números racionales exactos.
Esto es lo que nos dice.
Ese resultado es que si tenemos un ordenador virtual
que pudiera manejar el número suficiente de cifras significativas
podríamos aproximar.
Tanto como quisiéramos cualquier número real
es este resultado sobre densidad o aproximación
de los números reales.
En ese sentido, en qué consiste?
A redondear un número real, a en cifras significativas,
pues consiste en dar una aproximación de r
mediante el número racional exacto más cercano
entre los que tienen en cifras significativas o menos.
Vemos unos ejemplos aquí por ejemplo,
el número 11 con veintitres
si yo no quiero redondear a cuatro cifras significativas,
obtendré 11 con 2,
pero sí lo quiero recordar, donde haga tres cifras
tendré 11 punto 0.
El punto cero se pone para destacar claramente
que la tercera cifra significativa es cero no otra.
Si yo pongo 11,
punto también está bien, pero podría haber cierta ambigüedad
sobre yo estoy redondeando a dos transiciones.
Significativas o a tres cifras significativas.
Por supuesto, no solo lo que tenemos
en las los primeros ejemplos son números exactos,
redondeados a un número de cifras, significativas menor,
pero el último hemos puesto un numeroso racional que por supuesto
también se puede redondear al número de islas.
Significativas que se desee.
En cuanto al orden, decimos que un cierto número
haces una cuota superior es un cierto conjunto,
va si todos los elementos de ellas son más pequeños que hacen.
De la misma manera.
Venimos con un cierto números de, es una cuota inferior,
si todos los elementos ya son más grandes,
que en este caso,
afortunadamente el propio término la palabra casi sugiere,
el significa bien.
Llamamos supremo de a-a la menor de todas las cuotas superiores,
la denotamos, como su Medea y de la misma manera
recíprocamente llamamos ínfimo de a la mayor,
de todas las cosas inferiores
y las denotamos mediante incendia tenemos aquí unos ejemplos,
el primero, el Supremo del intervalo, 3, 4,
pues es el 4.
Uno piensa apoyar el Supremo, esto mismo que el máximo.
Bueno, pues es casi lo mismo.
El cuatro es el número más grande de todo el intervalo, 3, 4,
pero si cogemos el intervalo abierto,
3, 4, el cuatro ya no es el máximo porque no está en el intervalo,
pero sigue siendo el Supremo.
Ese es el matiz, la diferencia que hay entre el ser supremo
y se máximo.
No todos los conjuntos tienen máximo, pero,
como veremos todos los conjuntos de acotados, tienen Supremo,
y ese es el resultado.
El segundo resultado importante.
El primero es el de la aproximación de los números reales,
es el segundo resultado que marca la diferencia
entre hacer un cálculo, trabajar en r o trabajar, y es este todo,
su conjunto de que tenga cuotas superior,
tiene también un supremo, y todo su conjunto de r,
que tengan cuota inferior tiene también un ínfimo,
insisto en que esos dos resultados, la completitud del orden
y el resultado, que es el principio de la transparencia de aproximación,
son los que caracterizan a los números reales.
Voy a terminar solo
mencionando que hay una extensión más en los números complejos,
que verán en el tema 4.
En el bloque cuatro de ese de ese curso cero
hemos visto entonces que no todos los conjuntos
tienen supremo para conseguirlo, completar la recta de manera
que el otro tenga se introducen dos nuevos puntos,
el punto más infinito que sería el supremo de toda la recta,
y el menos infinito, que sería el ínfimo de todos.
Son dos nuevos puntos que hemos añadido a la recta real.
De esta manera obtendremos.
La recta ascendida cuando esos dos puntos
identifican en uno solo a ese punto, sería ignota por infinito
algunos textos.
Utilizan una connotación diferentes para acabar
lo que aquí llamamos más infinito, lo llaman infinito
y de lo que aquí llamamos infinito lo llaman más menos infinito,
pero eso cada texto lo aclara normalmente
y no crea ninguna dificultad.
Para nosotros conjuntos.
Se pueden visualizar de la siguiente manera.
La izquierda estaría la recta ampliada por mediante dos puntos,
que la visualizarnos como un intervalo cerrado
y a la derecha estaría, la recta completada,
se le llama con participación por un punto,
a veces mediante únicamente el punto del infinito.
Bueno, entonces la verdad sucesión
podemos definir dos nuevas sucesiones,
la situación se suene, está obtenida, cogiendo las colas,
es decir, quitando los primero términos
y cogiendo el Supremo,
de los que quedan, y la suben estrecha;
de la misma manera cogemos la misma cola
y en lugar de cogerlo supremo cogemos el ínfimo,
pues bien, el ínfimo de la primera es un poco trabalenguas,
pero es así el ínfimo de la primera, es lo que se denomina
el límite superior y el supremo de la segunda es
lo que se denomina límite inferior.
Si estos dos límites coinciden.
El número común al que coincide dos se le llama límite de la sucesión,
y se denota, de cualquiera de estas maneras,
si el límite existe y además es un número real.
Se dice entonces que las asociaciones convergente
entonces tenemos tres conceptos, que la sucesión no tenga límite,
que tenga límite pero posiblemente infinito,
y que tenga el límite y que sea finitos,
y a un número real,
en cuyo caso se dice que es convergente.
Bueno, la definición del límite nos permite operar
con los puntos del infinito,
porque los puntos de ineficiencia no son números reales.
En principio no podemos operar con ellos,
pero podemos extenderlos mediante esta regla
que está aquí descrito, que puedo leer,
pero lo mejor es leerlo uno mismo,
porque a veces ocurre con las explicaciones.
Imaginen ustedes que quieren decirle alguien como sea tan zapato
y le escriben las instituciones en un papel;
probablemente quedará un galimatías, ininteligible, y en cambio,
haciéndolo directamente, se ve que tampoco es tan complicado.
Entonces muchos de ese tipo de criterios es más fácil
ver cómo se aplican a ejemplos que intentar describirlos
con palabras.
Ponemos unos ejemplos entonces a continuación,
por ejemplo, a más infinitos al infinito,
porque si yo sumo a a cualquier sucesión que tiene infinito,
me sale a otra asociación que tiende infinito, por ejemplo,
a por infinitos al infinito.
Porque si yo cojo cualquier sucesión claro infinito
y lo multiplico por un número de lo que me queda
es otra situación que también tiene infinito.
Porque esa sucesión no está definida,
porque yo puedo inventarme una sucesión que tienen de acero
y otra que tiene infinito que salga un resultado,
y luego me puedo inventar otras dos que salga un resultado distinto.
Como el resultado depende de la sucesión que me invente
la operación, nuestra definida y lo mismo
con todos los ejemplos que están aquí que pueden ver
con bastante más detalle.
En el curso virtual y por supuesto que pueden plantear
sobre eso todas las cuestiones que consideren necesarias.
Bien, que es una función, una función en este caso
nos estamos resentía restringiendo las funciones reales
variables reales, una regla que permite designar
a cada elemento de un cierto conjunto que llamaremos dominio,
un elemento y otro conjunto que llamaremos recorrido.
En las funciones reales.
El recorrido es siempre la recta real.
En ese dibujo de aquí podemos tener una función que cuyo dominio sería
todas las rectas real por eso vemos que la gráfica
lleva extendiendo por todo el eje horizontal
y en el la gráfica de la izquierda hemos puesto la imagen completa
de la función, que es la imagen de todo el dominio
y la imagen de la derecha.
No se ve muy bien, pero hemos señalado en verde
un cierto conjunto del dominio y en azul la imagen de ese conjunto,
o sea que cada conjunto del dominio tiene una imagen y la imagen
de todo el dominio se le llama simplemente la imagen de la función,
bien la curva que está pintada la izquierda,
la curva roja.
No es la gráfica de ninguna función porque hay rectas verticales
que la acortan en más de un punto, es decir,
a cada equis le correspondería más de un e,
y eso no es una función.
Hemos dicho en la transparencia anterior que para que sea función
a cada elemento le tiene que corresponder uno solo
a cada elemento del dominio, un único elemento de la imagen,
la curva de la derecha.
En cambio,
si es una función, porque cualquier recta vertical,
la corta a lo sumo en un punto sin si además las rentas horizontales
cortan a las gráfica
también a lo sumo en un punto diríamos que la función,
que no solamente las gráfica corresponde una función,
sino que la función es inyectaba entonces en cada intervalo
eso es muy fácil de ver en cada intervalo, de su dominio.
Una función inyectaba tiene que ser o bien estrictamente creciente
o bien estrictamente de creciente.
En este ejemplo de aquí la curva azul es gráfica de una función,
como hemos visto antes, pero no es inyecta.
Iba porque cualquier hay, a hay.
Es rectas horizontales que la cuarta en dos puntos,
la curva de la derecha?
Es una función, porque cualquier recta vertical,
la cuarta en un punto y es también activa,
porque cualquier recta horizontal lo cuarto a lo sumo,
en un punto.
Por lo tanto funcionin y activa
en este caso particulares, creciente,
pero cuando yo avanzo de izquierda a derecha la función sube.
Bueno, podemos operar con funciones.
La operación más natural, aunque muchas veces,
pero con estudiantes, la más rara es la composición,
porque componer es aplicar una función a continuación de la otra
es muy importante en esta operación,
que en realidad es la más natural de la vida cotidiana,
es hacer una tarea a continuación de la otra.
Es que esa tarea no es conmutativa, no es igual componer f, con je, je,
je con el ejemplo que se suele poner bastante gráfico,
es decir, no es lo mismo abrir la ventana
y sacar la cabeza que sacar la cabeza y abrir una ventana.
El resultado es diferente.
Además de la operación de composición,
que es la operación propia intrínseca de las funciones,
tenemos todas las operaciones heredadas del la recta real,
como el.
Las imágenes de las funciones son números,
podemos operar con los números
y, por lo tanto, podemos operar con las funciones a todas esas.
Lo llamaremos operaciones heredadas.
Tenemos una operación más en la que no se suele caer,
que es la restricción, las restricciones, la operación,
que consiste en mantener la fórmula de la función, la regla,
y cambiar el únicamente el dominio sobre el que se aplicase
a quitarle puntos al dominio, y hay una operación
más de las que ponga habituales en el curso de las que conocemos,
que es puramente lo más difícil, que es la inversión.
Invertir una función consiste en definir una nueva
despejando en la expresión la crisis en función de la ley.
Si las funciones intelectiva
al resolver la ecuación tenemos una única solución
y, por lo tanto, nos queda definida una función que, si no,
ya que se denomina la inversa y se denota por eso elevado a menos,
pero cuando era funcionó sin y activa,
al despejar la equis,
nos pueden salir más de una solución.
Entonces tenemos distintas inversas, parciales o ramas de la inversa.
En ese mejor en un ejemplo, en el más sencillo,
es el de la moción equis cuadrado.
Su inversa es la raíz cuadrada
que tiene dos ramas raíz cuadrada positiva y negativa.
Ahí están representadas la funcione fe en morados,
ya funciona equis cuadrado y al tumbarla
sería la gráfica de la raíz equis raíz cuadrada de equis,
la rama, en rojo sería el riesgo de la positiva
y la rama, en vez de la raíz cuadrada negativa,
o sea el menos raíz cuadrada bueno,
pues esto está explicado con más detalle en el curso virtual,
pero en este esquema podemos ver las principales funciones
con las que se van a encontrar en un curso de matemáticas,
incluso de bachillerato.
De los primeros cursos.
El primer curso de la carrera de ingeniería
por una parte tenemos las funciones polinómicas
son las que tienen como fórmula un polígono meco
polinomio al caso particular, están las más fáciles.
La identidad y la constante,
las siguientes serían las elecciones algebraica,
que son las que se obtienen dividiendo 2, dos polinomios.
Avanzamos un poco más y pasamos de infracciones algebraica,
sábado funciones, algebraica, que son además de vas anteriores.
Nos permitimos introducir las raíces raíz, cubica, raíz cuadrada
y hacer todo tipo de combinaciones,
sumas multiplicaciones, composiciones seleccionas entre ellas
y sacamos de las funciones algebraica,
si además a estas añadimos las exponenciales y logaritmos
que verán en otros capítulos de este curso o las funciones econométricas
y todas las combinaciones de estas escuelas algebraica
se nos sale.
El campo en el que vamos a trabajar normalmente
que se llaman funciones elementales,
unos imaginarios y, digamos funciones elementales,
es porque hay otras que no son elementales.
Esas las encontrarán en cursos más adelante,
que son las que se definen mediante otras técnicas
mediante integración mediante límites, series etc.
Hay otras muchas funciones muy importantes en Ingeniería
que lo entran aquí pero las básicas con las que se va
a trabajar en un primer curso son las elementales.
La única función podemos decir sencilla que no es elementales.
La función característica, que es la función
que vale uno sobre los puntos de un cierto conjunto
y se lo fuera del podemos ver que las funciones potenciales
atraviesan todos esos dimos de funcionarios.
Una función potencial es la que tiene la variable en la base de un número.
En el exponente
según que el número sea natural entero, racional o real,
pues estaremos en cada una o bien la función es polinómica algebraica,
fracción algebraica o bien una función cualquiera.
Bueno, pues bien, decimos que él es el límite de la función
cuando se acerca de que su cero sí sí.
La imagen de la sucesión tiende a ele para cualquier sucesión del dominio
que cojamos, entiendo que sucede.
Describimos de esta manera en ese nuestros.
Presenta arriba.
Tanto la como pueden.
Ser.
Números reales o puntos.
Del infinito sirve.
La misma definición sirve para todos los casos.
Cuando no existe ninguna sucesión de puntos del dominio que tiende
a que sucedieron ni se plantea la existencia del límite no se dice
que no sé si es simplemente.
No se plantea.
Bueno, pues si una funciones continua.
Si el valor de la función coincide con el valor del límite en ese punto
la gráfica de la función continua se puede levantar,
si le parece, se puede dibujar sin levantar el papel en un intervalo
cerrado de su dominio; o sea, es la idea,
es que en cualquier intervalo cerrado del dominio.
Podemos dibujar las gráficas.
Levantar en la vida del papel, pero tiene que ser en un intervalo,
las funciones continuas son entonces las que cumplen este trabalenguas.
Que la imagen del límite es el límite de la imagen,
lo que significa lo que se ha escrito.
En ese dibujo podemos ver a la izquierda
una función que no es continua, porque además que da saltos;
es decir, dominios toda la recta real
y no podemos dibujarla sin levantar el lápiz del papel,
y en la derecha rojo tenemos una función
que sí que es continuación.
Funciona un partido por equis y sin embargo, lo dirá,
pero no puedo dibujarla sin levantar en la vida del papel,
que fijarse vienen lo que hemos dicho en la transparencia anterior,
en cualquier intervalo cerrado de su dominio.
Si puede hacerse, por ejemplo, en los positivos
o en los negativos por separado.
El asunto es que el cero no está en el dominio.
Bueno, algunos autores llaman función continúa,
las que son, están definidas en todo r para evitar problemas,
a veces se enfatiza y se dice continuas en su dominio
frente a continuas en todas.
En este sentido,
llamamos discontinuidad dos tipos de puntos
o bien los que no cumplen la condición anterior de continuidad
y también muchos autores, muchos libros.
Llaman discontinuidad a los puntos que,
sin estar en el dominio suele el límite
de algunas sucesión de puntos del dominio,
le aceptamos dado lo infinito como discontinuidades.
Pues bien, una definición alternativa sería decir con una función
es continua si no tiene discontinuidades
en su dominio.
Lógicamente una función.
Un partido por el que es que hemos visto antes
tenía una discontinuidad, estaba en el cero
el cero no está en su dominio, por lo tanto, es continua.
No hay ninguna contradicción, de momento muy bien.
Concluimos con dos resultados muy, muy importantes sobre continuidad.
El primero es que todas las funciones elementales son continuas
y el segundo es que la imagen de cualquier función permanente,
la imagen mediante una función continua
de cualquier intervalo cerrado de su dominio siempre es un intervalo
cerrado aquí; hay que fijarse que el resultado tiene dos matices,
que la imagen es un intervalo y que además es cerrado.
En el curso virtual
-podrán ver algunas consecuencias bastante importantes
de estos dos resultados
e incluso también hemos pasado alguna demostración breve.
Bueno, bueno, y con eso concluimos dándole las gracias por su atención
y repitiendo que pueden plantear todas las preguntas
o bien en los foros del curso virtual
o si lo desean personalmente, en la dirección de correo electrónico
parecen la planta.